Grundlagen der Mathematik

Inhaltsangabe

1. Die axiomatische Methode Seite 2
1.1. Was ist die Axiomatisierung?
1.2. Isomorphie
1.3. ÜberprĂŒfung von Axiomensystemen

2. Die Entwicklung von nichteuklidischen Geometrien Seite 4
2.1. Das Parallelenaxiom
2.2. Die nichteuklidischen Geometrien

3. Historische Entwicklung der Philosophie der Mathematik Seite 7

4. Das Sichern der Grundlagen Seite 8
4.1. Der Formalismus
4.2. Der Platonismus
4.3. Der Konstruktivismus oder Intuitionismus
4.4. Der Logizismus

Anhang: Literaturverzeichnis Seite111. Die axiomatische Methode

1.1. Was ist die Axiomatisierung?

Ein Axiomensystem ist die Grundlage aller mathematischer Systeme. Um ein solches System zu schaffen muss man alle Grundtatsachen und Definitionen finden, aus denen sich alle anderen SĂ€tze des betreffenden Fachgebiets bzw. der betreffenden Wissenschaft sammeln. Ist dies gelungen, so nennt man das Axiomensystem definit.
Damit ein solches System ĂŒberzeugen kann mĂŒssen alle Bezeichnungen, die man verwendet definiert sein und es muss alles bewiesen werden, indem man geistig, die definierten AusdrĂŒcke durch ihre Definitionen ersetzt.
Ein Axiomensystem kann niemals die komplette Wahrheit ĂŒber ein Sachgebiet wiedergeben, sondern ist immer als ein Modell zu verstehen, selbst wenn uns die Naturwissenschaften glauben machen, wollen, dass sie die Wahrheit ĂŒber ihr Gebiet wiedergeben. Sobald neue Erkenntnisse gewonnen werden, können die ĂŒberholten Begriffe jedoch sofort durch neue, exaktere ersetzt werden.
Ein Beispiel aus der Mathematik ist die Entwicklung der Geometrie, die in Kapitel 2 nĂ€her besprochen wird. Lange Zeit galt nur die euklidische Geometrie. Als die Möglichkeit von anderen Geometrien gezeigt wurde, wurde die euklidische Geometrie durch die nichteuklidische ersetzt, welche die euklidische immer noch berĂŒcksichtigte. Außermathematische Systeme lösen einander viel hĂ€ufiger ab. Zum Beispiel ersetzte die Einstein’sche RelativitĂ€t die Newton’sche Mechanik .

1.2. Isomorphie

Ein Grundbegriff der Axiomatik ist die Isomorphie. Gegeben seien zwei Axiomensysteme 1 und Σ2. In Σ1 herrschen nun die Relationen R1, R2, usw. Die Beziehungen zwischen den Objekten in Σ2 werden nun, obwohl sie sich im Sinn unterscheiden, mit den selben Namen versehen, wodurch sie einander zugeordnet werden. Findet sich zu jedem Begriff des einen Systems ein GegenstĂŒck im anderen, so sind die beiden Systeme isomorph. Man spricht von einer isomorphen Abbildung von Σ1 auf Σ2.
Isomorphe Gebiete mĂŒssen einander in irgendeiner Form Ă€hneln. Alles, was in einem System gilt, muss notwendigerweise in allen isomorphen Gebieten gelten. Das ist ein immenser Vorteil fĂŒr die Wissenschaft. Ein Axiomensystem kann aufgrund der Isomorphie mit beliebig vielen Interpretationen versehen werden.
Ein auffallendes Beispiel ist die Isomorphie zwischen der euklidischen Geometrie und der linearen Algebra. Offensichtlich entspricht einem Punkt in der Geometrie ein n - Tupel in der Algebra. Ein weiterer Bezug lĂ€sst sich zur Physik herstellen. FĂŒr ein Stromnetz mit n DrĂ€hten, die sich in einem Knotenpunkt verzweigen, gelten die gleichen Beziehungen, wie in einem euklidischen Raum mit n Dimensionen. Wenn man zum Beispiel die in die DrĂ€hte eingefĂŒhrten Spannungen kennt, und daraus die Stromverteilung ermitteln soll, dann ist dieses Problem Ă€quivalent zur Projektion eines Punktes auf eine Ebene.
Was man sich nicht von der Isomorphie erwarten darf, ist, dass man durch sie zu neuen Erkenntnissen gelangt. Da die zugrundeliegenden Axiome immer die selben bleiben, ist das ausgeschlossen. Allerhöchstens eröffnen sich dem Mathematiker in einem isomorphen Gebiet neue DenkansĂ€tze, die er in einem anderen ĂŒbersehen hat.

1.3. ÜberprĂŒfung von Axiomensystemen

Welche Kriterien muss ein System nun aber erfĂŒllen, damit es anerkannt werden kann? Der wichtigste Anspruch an ein System ist die Forderung nach der Widerspruchsfreiheit. Wenn ein Mathematiker eine neues System Ó ausarbeitet, muss er sicherstellen, dass es dieses geben kann. Aus seinem System Ó darf er niemals die Aussagen ĂĄ und Ü herleiten können. Ansonsten ist das System völlig wertlos. Deshalb ist die ÜberprĂŒfung eines jeden mathematischen Systems, ja einer jeden wissenschaftlichen Theorie, auf Widerspruchslosigkeit eine wichtige Aufgabe.
Des weiteren sollten die Axiome eines Axiomensystems unabhĂ€ngig voneinander sein. Es soll keine SĂ€tze enthalten, die aus den anderen Axiomen folgen. Das Axiom ĂĄ ist genau dann unabhĂ€ngig, wenn es sich nicht aus den ĂŒbrigen herleiten lĂ€sst. Um die UnabhĂ€ngigkeit einer Aussage festzustellen, gibt es drei Möglichkeiten. Da die UnabhĂ€ngigkeit eng mit der Widerspruchslosigkeit zusammenhĂ€ngt, kann man mit diesen Methoden auch diesen Nachweis fĂŒhren.

    Die erste Methode ist meist nur in kleinen, ĂŒberschaubaren Systemen anwendbar, da sie auf dem Grundsatz beruht. Wenn eine Aussage ĂĄ einen neuen Grundbegriff enthĂ€lt, der im System Ó nicht definiert ist, so kann die Wahrheit von ĂĄ in Ó nicht ĂŒberprĂŒft werden.
Aus der Anzahl der Betten eines Hotels, lÀsst sich beispielsweise nicht die Anzahl der HotelgÀste bestimmen.
Es ist unwahrscheinlich, dass sich komplizierte Systeme auf diese Art und Weise ĂŒberprĂŒfen lassen. Die beiden folgenden Methoden lassen sich wesentlich besser anwenden.
    Die zweite Methode ist die Konstruktion eines Modells. Diese Methode hatte bisher den grĂ¶ĂŸten Erfolg in der Analyse von Axiomensystemen. Dabei sucht man Objekte und Relationen, die bei geeigneter Namengebung alle Eigenschaften von Ó erfĂŒllen, fĂŒr die aber ĂĄ nicht gilt.
Es ist nicht zwingend notwendig ein komplett neues Modell zu schaffen, um ein Axiomensystem zu ĂŒberprĂŒfen, sondern es genĂŒgt, die Widerspruchslosigkeit eines Systems auf die eines anderen zurĂŒckzufĂŒhren.
Das ewige Scheitern der Beweisversuche des Parallelenaxioms, welches im nĂ€chsten Kapitel genauer besprochen wird, ist ein induktives Argument fĂŒr dessen UnabhĂ€ngigkeit. Diese BemĂŒhungen fĂŒhrten schließlich zu der Formulierung von nichteuklidischen Geometrien, fĂŒr welche das Parallelenaxiom nicht gilt. Die Schöpfer der nichteuklidischen Geometrien, taten nichts weiter als die Folgerungen aus der Gegenaussage zum Parallelenaxiom zu untersuchen.
Anhand der Konstruktion eines Modells konnten sie beweisen, dass diese neuen Geometrien zu keinen WidersprĂŒchen fĂŒhren können, die nicht auch in der euklidischen Geometrie existieren. (vgl. 2.2.3.)
Durch geschickte Konstruktion von arithmetischen Modellen gelang es Hilbert das logische VerhĂ€ltnis der Teile des geometrischen Axiomensystems aufzuklĂ€ren. Da es eine endliche Anzahl von Objekten gibt, die nacheinander ausgewiesen und mit Symbolen belegt werden können, kann man fĂŒr jeden Schritt mittels der Symbole feststellen, ob die Grundrelationen gelten, oder nicht. Damit hat er die Widerspruchslosigkeit der Geometrie auf die der Algebra zurĂŒckgefĂŒhrt.
Ganz egal, ob die euklidische Geometrie den physikalischen Raum nun genau beschreibt, oder nicht, sie folgt auf jeden Fall den gleich Gesetzen, wie die lineare Algebra. Jeder Widerspruch in der Geometrie muss sich deshalb auch als Widerspruch Algebra darstellen.
Auf diese Art und Weise wird ein Axiomensystem auf ein anderes zurĂŒckgefĂŒhrt. WĂŒrde man mit allen Systemen so verfahren, wĂŒrde ein Zirkel entstehen. Um sie alle zu beweisen genĂŒgt es den Beweis fĂŒr eines absolut zu fĂŒhren. Alle isomorphen Systeme wĂ€ren dann ebenso bewiesen. FĂŒr einen großen Teil der Mathematik und der Physik laufen solche BemĂŒhungen zur Zeit auf dem Gebiet der reellen Zahl.
    Die einzige Methode, eines absoluten Beweises, ist die direkte Methode. Bei dieser Methode werden alle möglichen Schlußfolgerungen ausgehend von den Axiomen gezogen. Der direkte Beweis ist gelungen, wenn sich keine WidersprĂŒche ergeben. Auf diese Art konnte Hilbert die Widerspruchslosigkeit der arithmetischen Axiome beweisen.
Ein weiters wichtiges Kriterium fĂŒr ein Axiomensystem ist noch zu erwĂ€hnen. Die Widerspruchsfreiheit garantiert nur, dass man nie zwei widersprĂŒchliche Ergebnisse erhalten kann, nicht aber, dass man ĂŒberhaupt eines erhĂ€lt. Deshalb fordert man von Axiomensystemen ihre VollstĂ€ndigkeit. Das heißt, dass es zu jeder widerspruchsfrei gestellten Frage eine Antwort geben muss. Die VollstĂ€ndigkeit eines Systems kann nur durch die Angabe einer das Beweisverfahren regelnden Methode sicher gestellt werden. Eine solche Methode kann es nicht geben. Der Weg zur Lösung eines Problems ist mit jedem Problem verschieden und muss jedes Mal neu gefunden werden.

2. Die Entwicklung von nichteuklidischen Geometrien

2.1. Das Parallelenaxiom

Wie bereits erwĂ€hnt hatten die "Elemente" des Euklid fĂŒr die Geometrie und die Mathematik ĂŒberhaupt fĂŒr lange Zeit einen Ă€hnlichen Stellenwert, wie die Bibel fĂŒr das Christentum. Euklid stellte die Geometrie auf eine Basis von Axiomen, die ĂŒber 2000 Jahre lang GĂŒltigkeit besaßen. Selbst Kant war der Meinung, dass sie die Wahrheit ĂŒber die RealitĂ€t liefern kann. Euklid, der zur Zeit PtolemĂ€us I. (305 - 287 v. Chr.) in Alexandria lebte, baute die Geometrie auf einer Vielzahl von Axiomen auf. Die ersten fĂŒnf lauten:

    Durch zwei Punkte verlĂ€uft eine eindeutig bestimmte Gerade. Geraden sind beliebig lang. Ein Mittelpunkt und ein Radius definieren einen eindeutig bestimmten Kreis. Alle rechten Winkel sind gleich groß. Wenn eine Gerade auf zwei Geraden fĂ€llt und hierdurch die Innenwinkel auf derselben Seite kleiner als zwei rechte Winkel sind, schneiden sich die beiden Geraden, wenn sie unendlich verlĂ€ngert werden, auf der Seite, auf der die Winkel kleiner als die beiden rechten Winkel sind.

Die ersten vier Axiome sind auf Anhieb verstĂ€ndlich und einfach zu formulieren. Mit dem fĂŒnften verhĂ€lt es sich anders. Es ist umstĂ€ndlich formuliert und nicht ganz so selbstverstĂ€ndlich wie die anderen. Es gibt mehrere Ă€quivalente Formulierungen, wie die folgende, die sich durchgesetzt hat:

In einer Ebene seien eine Gerade L und ein Punkt P nicht auf L gegeben. Dann gibt es genau eine Gerade durch P, die parallel zu L ist.

In dieser Fassung ist es als das Parallelenaxiom bekannt. Diese Formulierung ist einfacher, und hat sich daher durchgesetzt. Die Zweifel an seiner GĂŒltigkeit konnte es aber nicht beseitigen. Um diese zu zerstreuen wurde immer wieder versucht, zu beweisen, dass es von den anderen vier Axiomen abhĂ€ngig ist, und daher wahr sein muss.
Stellvertretend fĂŒr viele andere habe möchte ich den Beweisversuch von Posidonius, der im 1. Jahrhundert v. Chr. lebte, als Beispiel anfĂŒhren, da er der erste war, dem der Beweis "gelang". Der Trick, den er anwendete, war eine von Euklids Definitionen zu Ă€ndern. Er war sicher, dass seine Aussage "zwei Geraden sind parallel, wenn sie ĂŒberall den selben Abstand haben" Ă€quivalent zu Euklids Definition sei, wonach sich parallele Geraden niemals schneiden. Mit seiner Definition hatte er es nicht schwer das Axiom zu beweisen. Doch er hat es sich etwas zu leicht gemacht. GemĂ€ĂŸ seiner Intuition Ă€nderte er eine von Euklids Definitionen. Denn wie sollen sich zwei Geraden nicht schneiden, wenn sie einander nĂ€her kommen? Allerdings ĂŒbersah er, dass eben das 5. Axiom garantiert, dass parallele Geraden Ă€quidistant sind. Da seine Definition das Parallelenaxiom voraussetzt, kann sie nicht fĂŒr einen Beweis herangezogen werden.
Der nÀchste nennenswerte Versuch, das Parallelenaxiom zu beweisen, stammt von Gerolamo Saccheri. Er konstruierte ein Viereck ABCD, das heute nach ihm Saccheri - Viereck benannt ist. Die Winkel in A und B sind rechte Winkel, und es gilt AD = BC. Saccheri betrachtete folgende Möglichkeiten:

    Die Winkel in C und D sind rechte Winkel. Sie sind beide stumpfe Winkel. Sie sind beide spitze Winkel.

Nach Euklid musste die 1. Annahme die richtige sein. Er konnte das nicht direkt beweisen, also versucht er einen indirekten Beweis. Es gelang ihm zu zeigen, dass etwas falsches folgt, wenn die Winkel stumpf sein sollten. Falls die Winkel spitz sein sollten, konnte er lediglich zeigen, dass "alle Geraden, die innerhalb eines Winkels α durch P laufen eine gegebene Gerade AB nicht scheiden." FĂŒr Saccheri war das "unvereinbar mit der Natur der Geraden". Er glaubte hier einen Widerspruch gefunden zu haben. Somit wĂ€re das Parallelenaxiom bewiesen. Diese Art der Argumentation war natĂŒrlich nicht zwingend. Saccheris Folgerung widersprach dem 5. Axiom. Da es fĂŒr den Beweis als unbekannt vorausgesetzt wurde, kann es hier aber keinen Widerspruch geben. Der Beweis ist deshalb unvollstĂ€ndig.
Saccheri war zwar gescheitert, doch immerhin brachte er frischen Wind in die Debatte um das Parallelenaxiom. FĂŒhrende Mathematiker, wie Gauß, Lobatschewskij, Bolyai, und Riemann nahmen die seine Gedanken auf und untersuchten die beiden FĂ€lle, die Saccheri zu widerlegen versuchte. Sie entdeckten, dass man sehr wohl auf das Parallelenaxiom verzichten könne, und erschufen die nichteuklidische Geometrie, oder besser gesagt die nichteuklidischen Geometrien. Denn es zeigte sich, dass es zwei davon gibt. Sie werden nach ihren BegrĂŒndern Lobatschewskijsche (=hyperbolische) Geometrie und Riemannsche (= elliptische) Geometrie genannt.

2.2. Die nichteuklidischen Geometrien

    Die Lobatschewskijsche (= hyperbolische) Geometrie

Nikolai Iwanowitsch Lobatschewskij (1777 - 1856) untersuchte den Fall, dass die Winkel im Saccheri - Viereck spitz sind. Das ist möglich, wenn erlaubt wird, dass es zu einer Geraden L durch einen Punkt P mehrere nicht - schneidende Geraden gibt.
Saccheri zeigte bereits, dass alle Geraden, die einen Winkel grĂ¶ĂŸer als α mit einer Normalen durch L einschließen, L nicht schneiden. Anders als Saccheri sah Lobatschewskij hier keinen Widerspruch und baute seine Geometrie auf dieser Grundlage auf. Die GrĂ¶ĂŸe von α ist abhĂ€ngig von der Entfernung des Punktes P von L. Sollte der Wert fĂŒr α = 90° betragen lĂ€sst sich das Parallelenpostulat als Sonderfall folgern. Lobatschewskij bezeichnete die beiden Geraden, die genau den Winkel α mit P einschließen als parallel. Alle Geraden, die zwischen den Parallelen liegen, wĂ€ren laut Euklid ebenfalls parallel zu L, werden aber als ĂŒberparallel bezeichnet. Es gibt unendlich viele von ihnen.
Eine solche Geometrie lĂ€sst sich auf einer HypersphĂ€re realisieren. Eine Gerade wird hierbei als geodĂ€tische Linie dieser FlĂ€che aufgefaßt. Dreiecke haben auf dieser OberflĂ€che besondere Eigenschaften. Je kleiner die FlĂ€che eines Dreiecks ist, desto nĂ€her liegt seine Winkelsumme bei 180°. Ähnliche Dreiecke sind automatisch kongruent.

    Die Riemannsche (=elliptische) Geometrie

Obwohl Saccheri glaubte beweisen zu können, dass die Winkel im Saccheri - Viereck nicht stumpf sein können, gelang es Riemann eine Geometrie zu schaffen, in der auch dieser Fall eintritt.
Um die Arbeit Riemanns zu verstehen, ist es notwendig, ein wenig auf die allgemeine FlĂ€chentheorie von Carl Friedrich Gauß (1777 - 1855) einzugehen. Er entwickelte eine Methode mit der man Berechnungen auf gekrĂŒmmten FlĂ€chen anstellen konnte.
Ein Punkt auf dieser FlĂ€che wurde dabei nicht mehr in einem rĂ€umlichen Koordinatensystem (x,y,z) angegeben, sondern er fĂŒhrte gekrĂŒmmte Koordinatenachsen auf der FlĂ€che ein. Also konnte man jetzt Parametergleichungen fĂŒr x,y,z angeben in denen x,y,z von den Parametern p und q abhĂ€ngen. Jeder Punkt (x,y,z) auf der FlĂ€che kann also durch das Wertepaar (p,q) ausgedrĂŒckt werden.
Um nun die Entfernung zweier Punkte auf dieser FlĂ€che zu berechnen fĂŒhrte Gauß den Punkt (x+dx, y+dy, z+dz) ein, der unendlich nahe bei (x,y,z) liegt. FĂŒr die Entfernung der beiden Punkte muss gelten: ds2= dx2+ dy2+ dz2. Werden x,y,z durch p und q ersetzt ergibt sich die folgende Formel:

ds2= Edp2+ Fdpdq + Gdq2 (wobei E, F und G Funktionen von p und q sind)

Die geometrischen Eigenschaften der FlÀche hÀngen nicht von den Funktionen E,F und G ab, sondern nur von ds. Man kann also aus einem Linienelement ds alle Eigenschaften der FlÀche ableiten.
Riemann fĂŒhrte die Gedanken von Gauß fort. Er entwickelte die Gauß’sche Formel fĂŒr ds weiter, so dass sie nun im n - dimensionalen Raum anwendbar war, und beschĂ€ftigte sich mit Mannigfaltigkeiten mit konstanter KrĂŒmmung.
Es lĂ€sst sich zeigen, dass die euklidische Geometrie der auf einer FlĂ€che mit der konstanten KrĂŒmmung Null entspricht, die Lobatschewskijsche der auf einer FlĂ€che mit konstanter negativer KrĂŒmmung. Beide sind somit SonderfĂ€lle der Riemannschen Geometrie.
Letztere erlaubt weiters Berechnungen auf Flachen mit positiver KrĂŒmmung. Ein Beispiel fĂŒr eine solche FlĂ€che ist die KugeloberflĂ€che. Ein Punkt wird als Paar von Diametralpunkten aufgefaßt, eine Gerade als Großkreis. Es gibt keine parallelen Geraden, da sich die Großkreise immer in diametral gegenĂŒberliegenden Punkten treffen.

    Die Widerspruchsfreiheit der nichteuklidischen Geometrien

Der Nachweis, dass die nichteuklidischen Geometrien widerspruchsfrei sein mĂŒssen, wurde von einem Mathematiker namens Klein erbracht. Es gelang ihm ein euklidisches Modell fĂŒr die nichteuklidische Geometrie zu schaffen. Er schuf eine Kugel K im euklidischen Raum. "Punkte" sind alle Punkte innerhalb von K. Begriffe wie "Gerade" oder "zwischen" sind wie vor im euklidischen Sinne zu verstehen. "Bewegung" ist jene Kollineation, welche die Kugel in sich ĂŒberfĂŒhrt. "Kongruent" sind alle Figuren die durch eine "Bewegung" entstehen. Aus der Widerspruchslosigkeit der euklidischen Geometrie (vgl. Kap. 1) muss deshalb die der nichteuklidischen folgen.

3. Historische Entwicklung der Philosophie der Mathematik

Zu Beginn unseres Jahrhunderts gab es eine kurze Periode, in der die Grundlagen der Mathematik offen diskutiert wurden. Rund 40 Jahre lang tauschen die fĂŒhrenden Mathematiker ihre Gedanken untereinander aus, und stritten sich ĂŒber Details.
Diskussionen darĂŒber gab es dennoch schon lange vorher. Sie hĂ€ngen meist mit dem sogenannten Euklid - Mythos zusammen. Das ist der Glaube, dass die Schriften des Euklid Wahrheiten enthalten, die unwiderlegbar sind. (Wie bereits gezeigt, enthalten Euklids BĂŒcher nur einen Teil der Wahrheit.) Euklid fĂŒhrte seine Beweise ausgehend von seinen Axiomen mit solcher Klarheit, so dass sie fĂŒr lange Zeit eine feste StĂŒtze der gesamten Mathematik bildeten. Da sich geometrische Tatsachen ja auch arithmetisch beschreiben lassen, kann somit auch die Arithmetik auf eine solide Grundlage gestellt werden.
Plato ging davon aus, dass der Mensch Kenntnis von geometrischen Wahrheiten hat, die nicht aus der Erfahrung stammen, und dass diese ein Beispiel fĂŒr unwandelbare Wahrheiten sind. SpĂ€ter griffen die Rationalisten, wie Spinoza, Descartes und Leibniz, diesen Gedanken auf. FĂŒr sie waren die SĂ€tze der Geometrie ein Beispiel fĂŒr die Erkenntnis a priori. Sie glaubten, dass man sich nie irren kann, wenn man behauptet, dass a2+b2=c2 ist; behauptet man aber, dass morgen der dritte Weltkrieg ausbricht, so kann man diese Aussage logischerweise erst morgen ĂŒberprĂŒfen. Da die Mathematik von "offensichtlichen" Axiomen ausgeht und alle SĂ€tze darauf aufbauen, kann fĂŒr die Rationalisten kein Zweifel an der Wahrheit der Mathematik bestehen.
So wurde die Mathematik das beste Beispiel fĂŒr die Rationalisten um ihre Philosophie zu untermauern. FĂŒr die Empiristen, war sie andererseits, eine peinliche Niederlage. Da sich die Mathematik mit Dingen beschĂ€ftigt, die nie zuvor beobachtet wurden, muss das empirische Weltbild, das ja auf der Erfahrung aufbaut, einige LĂŒcken aufweisen. Deshalb gingen die meisten Empiristen auch nicht nĂ€her auf die Mathematik ein, sondern versuchten ihre Bedeutung wegzuerklĂ€ren. Einzig auf dem Gebiet der Geometrie war man sich einig. Die Axiome der Geometrie waren so anschaulich, dass nicht einmal die Empiristen sie anfeindeten.
Auch Kant widmet sich in seinem Werk dem Euklid - Mythos. Dass wir den Raum dreidimensional wahrnehmen, und die euklidische Geometrie, die daraus entstanden ist, ist fĂŒr ihn ein Beispiel fĂŒr eine Erkenntnis a priori. Unser VerstĂ€ndnis der Geometrie wird uns also aufgezwungen. FĂŒr lange Zeit konnte sich diese Sichtweise Kants halten. FĂŒr fast jeden Mathematiker war es bis ins 20. Jahrhundert hinein selbstverstĂ€ndlich, dass die Geometrie Wahrheiten liefern kann. Da Gebiete wie die Arithmetik und die Algebra von ihr abhĂ€ngen, mussten deshalb auch sie wahr sein.
Dieses mathematische Weltbild begann einzustĂŒrzen, als die nichteuklidischen Geometrien formuliert wurden. Da gezeigt werden konnte, dass die euklidische Geometrie nicht zwangslĂ€ufig die wahre Geometrie des Raumes sein muss, wurde die gesamte Kantsche Wahrnehmungslehre in Frage gestellt.
Eine weitere Bombe explodierte im mathematischen DenkgebĂ€ude als die Analysis raumfĂŒllende Kurven und stetige ĂŒberall undifferenzierbare Kurven hervorbrachte. Auf einmal war gezeigt, dass die "geometrische Intuition" nicht als Fundament fĂŒr die Mathematik ausreichte, das seit Plato bestand.
Die fĂŒhrenden Mathematiker des 19. Jahrhunderts, z.B. Dedekind, und Weierstraß, wandten sich in Folge dessen von der Geometrie als Grundlage der Mathematik ab und der Arithmetik zu. Dazu griffen sie auf die Mengenlehre zurĂŒck, die Cantor kurz vorher als neuen Zweig der Mathematik entwickelte. Sie mussten sie unendliche Mengen einfĂŒhren, um reelle Zahlen zu definieren. Es ergaben sich logische Probleme, die lange Zeit ungelöst blieben. Es wurden zahlreiche "Antinomien" (WidersprĂŒche) in der Mengenlehre gefunden, die in der Arithmetik oder der Geometrie nie vorkommen.
Ein Beispiel fĂŒr eine solche Antinomie wurde von B. Russell entdeckt. Er definierte eine "R - Menge" als eine Menge, die sich selbst als Element hat. Dann fĂŒhrte er eine Menge M ein, die alle möglichen Mengen, außer den R - Mengen enthĂ€lt. Die Frage, ob M eine R - Menge ist fĂŒhrt zu WidersprĂŒchen. Wenn M keine R - Menge ist, dann enthĂ€lt sie sich selbst, was sie zu einer R - Menge macht.
WidersprĂŒche wie dieser stĂŒrzten die Mathematik in eine tiefe Grundlagenkrise, aus der man sich auf verschiedenen Wegen zu befreien versuchte.

4. Das Sichern der Grundlagen

4.1. Der Formalismus

FĂŒr die Formalisten, allen voran David Hilbert, ist die Mathematik eine Art Spiel mit Symbolen und Formeln. Es gibt nur formale Strukturen, die sich nach gewissen Regeln ineinander ĂŒberfĂŒhren lassen. Anschauung und Erfahrung sind fĂŒr Formalisten ohne jegliche Bedeutung. Ein Satz ist nur dann wahr, wenn er sich aus einem widerspruchsfreien Axiomensystem herleiten lĂ€sst. Die Axiome selbst können willkĂŒrlich gewĂ€hlt werden. Entgegen anderer Auffassungen von der Mathematik sind sie nicht durch die Vernunft vorherbestimmt. Die Axiome mĂŒssen in ihrer inhaltlichen Bedeutung nicht bekannt sein. Sie können auch als bloße Zeichen gegeben sein. Wenn man mit den Axiomen umzugehen versteht, kann man so neue SĂ€tze herleiten.
Eine einfache Analogie fĂŒr den formalistischen Standpunkt ist das Schachspiel. Man benötigt keine Holzfiguren, man kann sie auch als Zeichen fixieren und die Regeln angeben. Ein Turm ist nur durch seine möglichen ZĂŒge definiert. Wie die Figur aussieht, und ob sie ĂŒberhaupt vorhanden ist, ist egal. Schließlich lĂ€sst sich eine Partie Schach ja auch auf einem Blatt Papier durch Anschreiben der ZĂŒge spielen..
Die einzelnen Begriffe, oder auch Zeichen, sind durch die Axiome vollstÀndig definiert. Da sie ohne die Axiome keine Bedeutung haben, sind sie somit impliziert definiert.
Da im Formalismus alle WidersprĂŒche ausgeschlossen sind, muss in formalistischen Systemen jede widerspruchsfrei gestellte Frage eindeutig zu beantworten sein, auch wenn die Antwort, wie beim großen Fermat - Problem noch nicht gefunden ist. Fermat vermutete, dass man fĂŒr die Gleichung xn+yn=zn (n⊂Ð, n>2) keine ganzzahlige Lösung finden kann. GemĂ€ĂŸ den Formalisten muss es fĂŒr diese Gleichung ein Lösungstripel geben, oder eben nicht.
Einen schweren Schlag erlitt die formalistische Ansicht durch Kurt Gödel. Er konnte beweise, dass ein System, das formal widerspruchsfrei ist, seine Widerspruchsfreiheit nicht mit den eigenen formalen Mitteln nachweisen kann. Dadurch erwies sich Hilberts Programm im strengen Sinn als undurchfĂŒhrbar.

4.2. Der Platonismus

Die Platonisten haben ein anderes Bild von der Mathematik. Die Platonisten geht davon aus, dass die mathematischen Objekte tatsĂ€chlich in ihrem eigenen "Universum" existieren, ganz egal, ob sie uns bereits bekannt sind, oder nicht. Sie waren schon immer da, und können nur noch von uns entdeckt werden. Jede Frage ĂŒber ein Objekt aus diesem Reich ist eindeutig zu beantworten, auch wenn der Lösungsweg noch unbekannt sein mag. Das ist ein grundlegender Unterschied zur formalistischen Auffassung, nach welcher mathematische Objekte nur dann existieren, wenn sie definiert sind. Allerdings erkennen sie die gleichen mathematischen Spielregeln an wie die Formalisten. Die folgenden AnsĂ€tze versuchen auf eine andere Art sichere Grundlagen zu schaffen.

4.3. Der Konstruktivismus oder Intuitionismus

FĂŒr die Konstruktivisten, allen voran L.E.J. Brouwer hat die Mathematik nicht nur einen formalen, sondern auch einen inhaltlichen Sinn. Die mathematische GegenstĂ€nde werden vom denkenden Geist begriffen. Die Mathematik ist daher unabhĂ€ngig von der Erfahrung.
FĂŒr sie existiert nur, wofĂŒr ausgehend von intuitiv gewissen Grundlagen ein eindeutiger Weg angegeben werden kann, auf dem die fraglichen mathematischen Gebilde konstruiert werden können. Die Reihe der natĂŒrlichen Zahlen ist intuitiv gegeben und nicht anders denkbar. Folglich existieren die natĂŒrlichen Zahlen im mathematischen Sinne. Weiters sind alle Zahlen existent, die sich eindeutig konstruieren lassen. Da es ein Verfahren gibt, mit dem sich die Quadratwurzel aus zwei auf beliebig viele Dezimalen berechnen lĂ€sst, ist auch sie existent.
Das gleiche Prinzip gilt fĂŒr SĂ€tze. Ein Beweis kann als Konstruktion, wie ein Satz als wahr festgestellt werden kann, aufgefaßt werden. Ein Satz ist nur wahr, wenn es einen konstruktivistischen Beweisgang gibt.
Was sich nicht konstruieren lĂ€sst, hat fĂŒr Brouwer keine Existenz. Es konnte zum Beispiel gezeigt werden, dass es eine Gruppe von irrationalen Zahlen gibt, die nicht Lösungen von algebraischen Gleichungen sein können, die sogenannten transzendenten Zahlen. Da man bei einer vorliegenden Zahl aber nicht entscheiden kann, ob sie algebraisch oder transzendent ist, haben solche Zahlen bei Brouwer keine Existenz.
Der Konstruktivismus wird nur von einer kleinen Zahl von Mathematikern vertreten. Der wichtigste von ihnen ist L.E.J Brouwer. Ein Grund dafĂŒr ist wohl ihre Interpretation der Axiome der Logik. Die Konstruktivisten lassen nĂ€mlich den Satz vom ausgeschlossenen Dritten nur eingeschrĂ€nkt gelten. Im Endlichen wird er auch von den Konstruktivisten anerkannt, wenn aber eine Aussage ĂŒber das Unendliche gemacht wird, so ist er nicht mehr gĂŒltig. Demnach kann ein Satz nicht nur wahr oder falsch, sondern auch unentscheidbar sein.
Brouwer benutzte die Fermat’sche Vermutung, um seinen Standpunkt zu erklĂ€ren. Bis heute gibt es keine Lösung dafĂŒr. Brouwer hĂ€lt es nun fĂŒr möglich, dass es ĂŒberhaupt keine Lösung gibt.
Da auch die Methode des indirekten Beweises auf dem Satz vom ausgeschlossenen Dritten beruht, lassen die Konstruktivisten, diese Art der BeweisfĂŒhrung nicht zu. Sie bemĂŒhen sich um konstruktivistischen Beweise, was ihnen in einigen FĂ€llen gelingt. Einige SĂ€tze, wie zum Beispiel das Gesetz der Trichotomie, welches besagt, dass jede Zahl entweder positiv, negativ, oder Null ist, gelten fĂŒr sie aber immer noch nicht.

4.4. Der Logizismus

Ebenfalls durch die Probleme, die zu Anfang des Jahrhunderts bestanden, angeregt, versuchten die Logizisten die Mathematik auf die Logik zurĂŒckzufĂŒhren. Die wichtigsten Vertreter dieser Richtung sind G. Frege (1848 - 1925), N. Whitehead (1861 - 1947) und B. Russell (1872 - 1970).
Zu Beginn zeigte sich, dass die Logik selbst einer neuen Darstellung bedurfte. Frege entwickelte eine Begriffsschrift, die von Whitehead und Russell zum mathematischen Logik weiterentwickelt wurde. Sie ist eng an die Symbole der Algebra angelehnt, um eine möglichst exakte Darstellung zu erreichen.
Die logizistische Definition der natĂŒrlichen Zahlen ist auf G. Frege zurĂŒckzufĂŒhren. Sie geht davon aus, dass jeder Menge eine Zahl zugeordnet werden kann. Jenen Mengen, die drei Elemente enthalten (Tripel), wird die Zahl Drei zugeordnet. Die Drei ist umgekehrt die Menge aller Tripel, also eine Menge von Mengen.
Weiters muss man feststellen können, ob Mengen tatsĂ€chlich gleich viele Elemente enthalten, ohne sie abzuzĂ€hlen, da die Zahlen ja noch nicht definiert sind. Diese Feststellung ist nicht sehr kompliziert. Zwei Mengen mĂŒssen immer dann gleich viele Elemente haben, wenn man jedem Element einer Menge eindeutig eines aus einer anderen Menge zuordnen kann und umgekehrt.
Damit ist die Basis fĂŒr die Definition der natĂŒrlichen Zahlen gegeben. Um die Null zu definieren bildet man den Begriff "nicht gleich sich selbst". Logischerweise muss die Menge die durch diesen Begriff definiert wird leer sein. Die Null ist nun die Zahl die durch diesen Begriff eindeutig definiert.
Die leere Menge ist die einzige Zahl, die die Null ausdrĂŒcken kann. Der Begriff "gleich Null" kann deshalb nur eine Menge, also die Eins, ausdrĂŒcken.
Per vollstĂ€ndiger Induktion erhĂ€lt man dann alle weiteren Zahlen. Es sei a Element einer Menge F. Dann kann eine Menge bilden, die alle Elemente von F außer a enthĂ€lt. Wenn diese neue Menge die Zahl n aussagt, so folgt, dass F die Zahl n+1 aussagt. Auf diese Weise ist der Nachfolger einer Zahl definiert. Aus dieser Definition folgt weiters, dass es unendlich viel natĂŒrlich Zahlen geben muss.
Die Erweiterung des Zahlenbegriffs ĂŒber negative bis hin zu transfiniten Zahlen wurde von B. Russell und N. Whitehead vorgenommen. Alle Arten von Zahlen sind grundverschieden. Es ist daher falsch anzunehmen, dass im Logizismus die natĂŒrlichen Zahlen SonderfĂ€lle von rationalen Zahlen sind.
Um positive und negative Zahlen auszudrĂŒcken fĂŒhrten sie die Operanden +1 und - 1 ein. Wenn man mit negativen Zahlen rechnet, ist +1 anders definiert als die natĂŒrliche Zahl 1.
Ein Bruch ist als Beziehung zwischen zwei natĂŒrlichen Zahlen. m/n ist die Beziehung zwischen den Zahlen x und y, wenn nx=my gilt. Wie beim Rechnen mit negativen Zahlen gilt auch fĂŒr das Rechnen mit rationalen Zahlen, dass 2/1 nicht der natĂŒrlichen Zahl 2 entspricht.
Die Definitionen der irrationalen, komplexen und transfiniten Zahlen ĂŒbersteigen den Rahmen dieser Arbeit, und werden nicht angefĂŒhrt.
Alle logizistischen SĂ€tze sind Tautologien. Sie sind zwangsweise wahr, da sie von der Form "A oder nicht - A" sind. DafĂŒr werden die Logizisten oft kritisiert. Zu sagen "Ich kann fliegen oder ich kann nicht fliegen", entbehrt jeglichen Inhaltes. Also, mĂŒsste die gesamte Mathematik ohne Inhalt sein. Weiters wird angemerkt, dass die Logik zur DurchfĂŒhrung des logizistischen Programms in eine symbolisierte Form gebracht wurde. FĂŒr eine solche Symbolisierung sind gewisse mathematische Kenntnisse notwendig. Wenn die Logik ihrerseits aus der Mathematik entspringt, dann ist hier ein Zirkel entstanden.

Literaturverzeichnis

    Gerhard Frey: EinfĂŒhrung in die philosophischen Grundlagen der Mathematik
    Hermann Schroedel Verlag, 1968, Bestell - Nummer 3044 Hermann Weyl: Philosophie der Mathematil und Naturwissenschaft
    R. Oldenburg Verlag, 1990, ISBN 3 - 486 - 46796 - 4 Philip J. Davis; Reuben Hersch: Erfahrung Mathematik
    BirkhÀuser Verlag, 1981, ISBN 3 - 7643 - 2996 - 3 Jeanne Pfeiffer; Amy Dahan Dalmedico: Wege und Irrwege - Eine Geschichte der Mathematik
    BirkhÀuser Verlag, 1994, ISBN 3 - 7643 - 2561 - 5 Underwood Dudley: Mathematik zwischen Wahn und Witz
    BirkhÀuser Verlag, 1985, ISBN 3 - 7643 - 5145 - 4

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