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Aufgabenbeispiel zur Kurvendisskusion

Aufgabenbeispiel zur Kurvendisskusion

(1) Definitionsbereich
(2) Achsenschnittpunkte
(3) Grenzwerte f眉r x -> + ∞ ∧ x -> - ∞
Grenzwertverhalten an den Polstellen
Ableitungen
(6) Extrempunkte
(7) Polynomdivision -> Asymptotengleichung

1.Beispiel : f(x) = (x^2 - 4)/(x - 1)

(1) Definitionsbereich

D(f) = R \ {1}

Bedingung : x - 1 ≠ 0

x - 1 = 0 贸 x = 1

Achsenschnittpunkte
Schnittpunkte mit x - Achse

Bedingung : f(x) = 0

x^2 - 4 = 0 贸 x = 卤 √ 4 贸 x = - 2 ∨ x = 2 (Aufl枚sen nach x)
oder
x^2 - 4 = 0 贸 (x+2)(x - 2) = 0 贸 x = - 2 ∨ x = 2 (Binomische Formeln)

=>Sx1 ( - 2;0) ∧ Sx2 (2;0)

Schnittpunkte mit y - Achse

Bedingung : x = 0

f(0) = (0^2 - 4)/(x - 1) = - 4/ - 1 = 4

=>Sy(0;4)

Grenzwerte f眉r x -> - ∞ ∧ x -> + ∞
lim f(x) = lim x^2 - 4 = lim x(x - 4/x) = lim x - 4/x [ = ∞ /1] = + ∞
x ->∞ x ->∞ x - 1 x ->∞ x(1 - 1/x) x ->∞ 1 - 1/x

oder

lim f(x) = lim x^2 - 4 = lim 1 - 4/x^2 [ = 1/0] = +∞
x ->∞ x ->∞ x - 1 x ->∞ 1/x - 1/x^2

lim f(x) [ = - ∞ /1] = - ∞
x -> - ∞

Folgerung : lim f(x) = ∞ ∧ lim f(x) = - ∞
x ->∞ x -> - ∞

Grenzwertverhalten an den Polstellen
l - lim f(x) = lim (1 - h)^2 - 4 = lim 1 - 2h+h^2 - 4 [ = - 3/ - h] = ∞
x ->1 h ->0 (1 - h) - 1 h ->0 - h

r - lim f(x) = lim (1+h)^2 - 4 = lim 1+2h+h^2 - 4 [ = - 3/h] = - ∞
x ->1 h ->0 (1+h) - 1 h ->0 h

Folgerung : Die Funktion f(x) = x^2 - 4
x - 1
besitzt eine Unendlichkeitsstelle mit Vorzeichenwechsel von + nach - an der Stelle x=1
Ableitungen
1.Ableitung

f’(x) = 2x(x - 1) - (x^2 - 4)1
(x - 1)^2

= x^2 - 2x+4
(x^2 - 2x+1)

2.Ableitung

f’’(x) = (2x - 2)(x^2 - 2x+1) - (x^2 - 2x+4)(2x - 2)
(x - 1)^4
= - 6x+6 = - 6(x - 1) = _ - 6__
(x - 1)^4 (x - 1)^4 (x - 1)^3

3.Ableitung

f’’’(x) = 18
(x - 1)^4

Extrempunkte
notwendige Bedingung : f’(x) = 0

f’(x) = x^2 - 2x+4 = 0
(x - 1)^2

贸 x^2 - 2x+4 = 0
贸 x1 = 1 + √ 1 - 4 nicht definiert

x2 = 1 - √ 1 - 4 nicht definiert

LL = { }

Folgerung : Es gibt keine Hoch - oder Tiefpunkte

Asymptotengleichung
(x^2 - 4) : (x - 1) = x+1 + ( - 3)/(x - 1)
- (x^2 - x)
x - 4
- (x - 1)
- 3

(x^2 - 4) : (x - 1) = x+1 + ( - 3)/(x - 1)

贸 (x^2 - 4)/(x - 1) = x+1 - 3/(x+1) = f(x) 娄 - (x+1)
↓ ↓
f(x) g(x) ->0(x ->卤 ∞ )


Behauptung : lim f(x) = lim g(x)
x ->卤 ∞ x ->卤 ∞

Beweis : x^2 - 4 - (x - 1) = - 3
x - 1 x - 1
↓
f(x) - g(x) = - 3
x - 1

lim (f(x) - g(x) = lim - 3
x ->∞ x ->∞ x - 1

lim f(x) - lim g(x) = 0 | +[ lim g(x)]
x ->∞ x ->∞ x ->∞

贸 lim f(x) = lim g(x)
x ->∞ x ->∞

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