Näherungsweise Berechnung von Flächen: Das Sehnent

Abbildung I

f(x)=1/4x^3+x^2+1 (Abb.I - III)



Wir wollen die Fläche S unter dem Graphen
annähernd bestimmen .(Abb.I)


Also teilen wir die Strecke [a,b] in
beispielsweise 3 Teile





Abbildung II
Jedes Teil hat dann die Breite: (h)= b - a
3

Dann rechnen wir an den 4 Grenzstellen
jeweils den Funktionswert aus, also
f(a), f(a+h), f(a+2h) und f(b) .


Die Fläche der 3 entstehenden Trapeze
ist zusammen ungefähr so groß, wie
die gesuchte Fläche S.

Das linke Trapez z.B. hat die Fläche :

h*(f(a)+f(a+h))
2

(Das ist die Trapezformel :)
f(a) f(a+h)



h

Die 3 Trapeze zusammen haben also den Flächeninhalt :

S:= h/2 (f(a)+f(a+h)) + h/2(f(a+h)+f(a+2h)) + h/2 (f(a+2h)+f(b)
linkes Trapez Mitteltrapez rechtes Trapez

Das kann man umformen : S:= h/2[f(a)+2f(a+h)+2f(a+2h)+f(b)]




Abbildung III
Will man die Fläche genauer annähern
(approximieren), braucht man
mehrere dünnere Trapeze.

Teilt man die Strecke von a nach b
in n Teile ,

so erhält man n Trapeze

der Breite: h= b - a
n

Es folgt die Sehnentrapezformel:



S = h/2*[ f(a) + 2f(a+h) +2f(a+2h)+...+ 2f(a+(n - 1)h) + f(b) ]

und nun folgt eine Beispielrechnung mit n=6 Trapezen

BEISPIELRECHNUNG:
f(x)= 1/4x^3+x^2+1


Gesucht : Schraffierte Fläche S,
also a= - 2, b=1

Wir teilen z.B. in 6 Teile ,
also n=6

( b - a ) => h = 3/6 = ½
n

Wir berechnen die 7 Funktionswerte :

f(a)	f(a+h)	f(a+2h)	f(a+3h)	f(a+4h)	f(a+5h)	f(b)
f( - 2)	f( - 1,5)	f( - 1)	f( - 0,5)	f(0)	f(0,5)	f(1)
3	2,40625	1,75	1,21875	1	1,28125	2,25

In die Sehnentrapezformel : [s= h/2*(f(a)+2f(a+h)+2f(a+2h)+...+2f(a+(n - 1)h)+f(b))]

S = 1/2/2*[3 +2*2,40625 +2*1,75 +2*1,21875 +2*1 +2*1,28125+ 2,25] =

=1/4*[3+4,8125+3,5+2,4375+2+2,5625*2,25] = 5,140625

Das Sehnentrapez Verfahren stellt nur eine Näherungsweise Berechnung von Flächen dar ,
somit wird immer ein, wenn auch relativ kleiner, Fehler entstehen .
Der berechnete Näherungswert ist
bei Rechtskrümmung zu klein und bei Linkskrümmung zu groß.
( Im Idealfall würden sich die Fehler aufheben .)
Vgl. Folie 2 : ( Beispiel Rechnung )




In der Praxis werden Verfahren dieser Art angewandt, da eine Näherungsweise Bestimmung einer Fläche unter einem Funktionsgraphen meist schon ausreicht .
Das Sehnentrapez Verfahren ist ein relativ genaues Verfahren und wird
mit steigendem n (Abb.III ) schnell sehr genau .
Wir haben einige Funktionen durch Integration lösen können
Aber was wenn Sin (X) z.B. berechnen wollen ,wie geht das?
(Lehrplan Fachbereich Wirtschaft enthält die Integration von sin(x) nicht !!)
Zum Beispiel mit dem Sehnentrapez Verfahren.
Dafür habe ich in Excel einige anschauliche Berechnungen programmiert .
Sie sollen zur Veranschaulichung des gesamten Sachverhaltes dienen ,
speziell die steigende Genauigkeit der Berechnung mit steigendem n soll nochmals eindringlich widergespiegelt werden .

Es folgen Ausschnitte des Programmes :

Berechnung der Fläche die, die SIN - Kurve, von 0 bis "pi"(3,141...),über der X - Achse einschließt

Mit 5 Trapezen:

Das Sehnentrapez Verfahren		n=5(Trapeze)	a=	0	b=	3,1	h = b - a/n
				h=	0,6
Funktion :f(x)=	SIN(x)
Sehnentrapez:	s= h/2*(f(a)+2f(a+h)+2f(a+2h)+...+2f(a+(n - 1)h)+f(b))
X - Werte:(a+h)	Y - Werte:(f(a+h))	2f(a+h)	Fläche:
0,628318531	0,587785252	1,1755705	1,933765598
1,256637061	0,951056516	1,90211303
1,884955592	0,951056516	1,90211303	max.Fehler :
2,513274123	0,587785252	1,1755705	0,08696961

Berechnung der Fläche die, die SIN - Kurve, von 0 bis "pi"(3,141...),über der X - Achse einschliest

Mit 100 Trapezen:

1	Das Sehnentrapez Verfahren	f(x)=sin(x)	n=100(Trapeze)	h= pi/100	b="pi"	a=0
2	Sehnentrapez: s:=	s= h/2*(f(a)+2f(a+h)+2f(a+2h)+...+2f(a+(n - 1)h)+f(b))	h = b - a/n
3	X - Werte:(a+h)	Y - Werte:(f(a+h))	2f(a+h)	Fläche:
4	0,031415927	0,031410759	0,062821518	1,999835504
5	0,062831853	0,06279052	0,125581039
6	0,09424778	0,094108313	0,188216627	max.Fehler:
7	0,125663706	0,125333234	0,250666467	0,000217424
8	0,157079633	0,156434465	0,31286893
9	0,188495559	0,187381315	0,374762629
10	0,219911486	0,218143241	0,436286483
11	0,251327412	0,248689887	0,497379774
12	0,282743339	0,278991106	0,557982212
13	0,314159265	0,309016994	0,618033989
14	0,345575192	0,33873792	0,67747584
15	0,376991118	0,368124553	0,736249105

Berechnung der Fläche die, die SIN - Kurve, von 0 bis "pi"(3,141...),über der X - Achse einschliest

Mit 200 Trapezen:

1

2

Das Sehnentrapez Verfahren

n=200(Tra.)

3
4	Funktion :f(x)=	sin(x)			h = b - a/n
5	Sehnentrapez:	s= h/2*(f(a)+2f(a+h)+2f(a+2h)+...+2f(a+(n - 1)h)+f(b))
6	X - Werte:(a+h)	Y - Werte:(f(a+h))	2f(a+h)
7
8				Fläche:
9				1,99999....
10	0,015707963	0,015707317	0,03141463	max. Fehler:
11	0,031415927	0,031410759	0,06282152	0,0000543
12	0,04712389	0,047106451	0,0942129
13	0,062831853	0,06279052	0,12558104
14	0,078539816	0,078459096	0,15691819
15	0,09424778	0,094108313	0,18821663
16	0,109955743	0,109734311	0,21946862
17	0,125663706	0,125333234	0,25066647

Quellenverzeichnis :


1. Hirscher/Scheid : Grundbegriffe der Analysis

2.Barner/Flohr : Analysis 1

3.Infinitesimalrechnung 1

722 Worte in "deutsch"  als "hilfreich"  bewertet