Differentialgleichungen

Einführung Differentialgleichungen

Es gibt 2 bereits bekannte Methode um Veränderungen zu beschreiben. Logaritmusfunktion und Exponentalfunktion. Bei diesen beiden wird jedem Zeitpunkt t ein gewisses Ereignis zugeordnet. Das der Funktionsgleichung y=f(t) lassen sich durch Einsetzen alle Einzelheiten bestimmen.
Wenn die Funktion aber nicht vorliegt kann man die Differentialgleichung verwenden. Oftmals ist eis einfacher zeitliche Veränderungen zu ermitteln, als die Größe selbst. Die Zeitlichen Veränderungen lassen sich mit Differentialgleichungen rechnerisch verwerten. Nahezu alle natürlichen und künstlichen Bedrohungen unseres Lebens lassen sich modellmäßig am besten mit Differentialgleichungen erfassen.

Definition: Eine Differentialgleichung ist eine Gleichung, die neben der gesuchten Funktion, die von einer oder mehreren Variablen abhängig ist, auch deren Ableitungen enthält. Hängt die gesuchte Funktion nur von einer Variablen ab, so spricht man von einer gewöhnlichen Differentialgleichung. Hängt die gesuchte Funktion von mehreren Variablen ab, so spricht man von einer partiellen Differentialgleichung.

Differentialgleichungen lassen sich oft nur sehr schwer und mit viel Aufwand lösen. Da aber die Lösung mit der Realität fast übereinstimmt, nimmt man den langen und schwierigen Weg oftmals in Kauf.

Aufstellen von Differentialgleichungen

Beispiel:

Segelboot bewegt sich mit v. Der Strömungswiderstand (die Bremskraft) in Wasser ist F= - k·v. Das negative Vorzeichen steht, weil die Bremskraft der Bewegung des Bootes entgegenwirkt.
Die Newton’sche Bewegungsgleichung ist Die beiden Gleichungen setzt man nun gleich. Man erhält somit eine sogenannte Differentialgleichung in der die gesuchte Geschwindigkeitsfunktion und ihre erste Ableitung nach der Zeit vorkommen, die Zeit als unabhängige Variable aber fehlt.

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