Arithmetische Folgen

arithmetische Folgen:

Definition:


mit


Eigenschaften:



arithmetische Folge 1.Ordnung:




Bei arithmetischen Folgen der Ordnung k,
ist die k - te Differenzenfolge eine konstante Folge:




an d k+d 2·k+d 3·k+d.....
Δan k k k......

praktisches Bsp.:
Frage: Welche Ordnung hat die Folge
:
an 1 0 1 4 9
Δan - 1 1 3 5
Δ¬≤an 2 2 2

Antwort:
arithmetische Folge 2.Ordnung.

Differenzenschema in umgekehrter Richtung:

S0 S1 S2 S3 S4

a0 0 a1 a1+a2 a1+a2+a3 a1+a2+a3+a4.......
an a1 a2 a3 a4........
Δan a2 - a1 a3 - a2 a4 - a3 a5 - a4.......

Summenformel:




Summe der ersten n Glieder:



geometrische Folgen:


Definition:





Eigenschaften:



    Der Quotient 2 - er aufeinanderfolgender Glieder ist konstant.




    Jedes Folgenglied ist das geometrische Mittel seiner Nachbarn.


    Summenformel:



    unendliche geometrische Reihe:







n - Faktorielle:

n!=1·2·3·4·5·6·...· (n - 1) ·n

Beispiel.:
5!=1·2·3·4·5=120












Grenzwerte von Folgen:

Definition:




nennt man ε - Umgebung von a.

Häufungspunkt (HP) :



x hei√üt HP, wenn in jeder ε - Umgebung von x unendlich viele Folgenglieder liegen.



f√ľr unendlich viele n.

f√ľr unendlich viele n.

Definition von "fast alle" - Grenzwert (GW):

fast alle: Alle bis auf endlich viele.



a hei√üt GW der Folge, wenn in jeder ε - Umgebung von a fast alle Folgenglieder liegen.

man sagt:"Die Folge a von n konvergiert gegen a."

Schreibweise:

eine nicht konvergente Folge heißt divergent.





Unterschied zwischen GW und HP:

a = HP in jeder Umgebung liegen unendlich viele Folgenglieder.
a = GW in jeder Umgebung liegen fast alle Folgenglieder.

à Jeder GW ist auch ein HP, aber nicht jeder HP ist ein GW.











Grenzwerte von Funktionen







Grenzwertsätze von Funktionen:



Spezialfall:
ist
\
und ist
dann gilt:


Bemerkung: wie bei Folgen gilt:
a) ist b=0 und
existiert nicht!
b) ist b=0 und a=0 => gesonderte Untersuchung!

Einseitige Grenzwerte:

Definition:
1.) existiert der GW f√ľr
f√ľr h>0, so nennt man ihn rechtsseitige
GW der Funktion f an der Stelle x0.
Schreibweisen:


2.) existiert der GW f√ľr
f√ľr h<0, so nennt man ihn linksseitiger
GW der Funktion f an der Stelle x0.
Schreibweisen:


3.) Sind linksseitiger und rechtsseitiger GW identisch, so existiert der GW an
der Stelle und hat den selben Wert.

Uneigentliche Grenzwerte: (GW f√ľr
)

Definition:
1.)

2.)








Stetigkeit einer Funktion:

Definition:



in Worten:
1.) Eine Funktion heißt stetig an der Stelle x0, wenn an dieser Stelle der Funktions -
und Grenzwert √ľbereinstimmen.
Bei stetigen Funktion lässt sich Funktions - und Grenzwertbildung vertauschen.
2.) Sind GW und FW an der Stelle x0 verschieden oder existiert einer der beiden Werte
nicht, so ist die Funktion unstetig.
3.) Eine Funktion ist in einem Intervall stetig, wenn sie in jedem Punkt des Intervalles
stetig ist.

Stetig sind folgende spezielle Funktionen:
    konstante Funktion identische Funktion Exponentialfunktion Sinusfunktion
weiters gilt:
    Die Summe, Differenz und das Produkt stetiger Funktion sind stetig. Die Quotienten stetiger Funktion bei Nenner ungleich 0 sind stetig. Verkettungen (Hintereinanderausf√ľhrungen) stetiger Funktion sind stetig. Existiert zu einer stetigen Funktion eine Umkehrfunktion, so ist auch diese stetig.
Allgemeine Merkregel:
Alle Funktionen, die man - ohne abzusetzen - unter einmal zeichnen kann, sind stetig!


Stetige Ergänzung von Funktionen:

Funktion f: D\
sei stetig in D\

der GW
existiere.

Dann ist



stetig in ganz D und heißt stetige Ergänzung von f an der Stelle x0.

Stetige Ergänzung ist nur bei LÜCKEN machbar!









Die Differentialrechnung


Differenzierbarkeit

Ableitung einer Funktion an einer Stelle x0 ( "Lokale Differenzierbarkeit").

Definition:









1.)
heißt
Differentialquotient von f an der Stelle x0 und x0+h.

2.)

heißt Ableitung der Funktion f an der Stelle x0.

Ableitungsfunktion von f:

y=f(x)
y‘=y‘(x)=


Einseitige Differenzierbarkeit:
rechtsseitige Ableitung:

linksseitige Ableitung:

f ist differenzierbar an der Stelle
f ist stetig in
, wenn
und
existieren und
ist.

physikalische Anwendungsbeispiel:
Lotrechter Wurf:

Durchschnittsgeschwindigkeit:
=> nach längerer
Umformung =>

Momentangeschwindigkeit:

Durchschnittsbeschleunigung:





Formeln f√ľr die Differentialrechnung:






Das totale Differential:

Def.:
F√ľr eine diff. bare Fkt. f: D√† W bezeichnet man
als totales Differential.
Das totale Differential gibt die Ordinatenänderung der Tangente von der Fkt. f an, wenn die Abszissenänderung dx beträgt.
F√ľr kleine dx stellt dy die 1. √Ąnderung des Fkts. - Wertes dar.

Linearisierungsformel:




Anwendung: Näherungsverfahren (siehe später), Fehlerberechnung:

absolute Fehler: | Fehler von y | =


relative Fehler:




Näherungsmethoden:

Newton’sche N√§herungsverfahren


Definition:



Satz: Newton’sche N√§herungsverfahren:



Kriterium zur Wahl des Startwertes:



Mittelwertsätze der Differentialrechnung:



Regel von de l’Hospital:






Kurvendiskussion:

Die Kurvendiskussion setzt sich zusammen aus:
a) Definitionsmenge
b) Ausnahmestellen √® Pole, L√ľcken?
c) Nullstellen
d) Extremwerte è Tiefpunkte, Hochpunkte?
e) Wendepunkte
f) Wendetangente (nur wenn Wendepunkte vorhanden sind)
g) graphische Darstellung

a) wo ist die Fkt. nicht def.? Nenner - Nullstellen?
b) wo die Funktion nicht definiert ist (siehe a) ), muss untersucht werden, ob es sich hier um
eine L√ľcke (kein FW, aber GW vorh.) handelt, oder um einen Pol (kein FW und GW vorh).
c) Nullstellen findet man, indem man f(x):=0 setzt bzw. mit Näherungsverfahren (siehe
NEWTON - Verfahren)
d) Extremwerte sind vorh., wenn gilt:



e) Wendepunkte sind vorh., wenn gilt:

f) wenn e) vorh., gilt:





g) nun zeichnet man alle schon bekannten Punkte in einer Graphik ein und verbindet sie nach
besten Wissen und Gewissen.


Extremwertaufgaben:

Vorgangsweise:

1.) Aufstellen der Zielfunktion. Das ist jene Funktion die einen Extremwert annehmen
soll. Diese Größe hängt aber im allgemeinen von mehreren Variablen ab.
    y=f(x1,x2,x3,...,x n - 1,xn).
2.) Aufstellen von (n - 1) - Nebenbedingungen. Dadurch können (n - 1) - Variablen
aus der Zielfunktion eliminiert werden.
    y=f(x)
3.) Den Definitionsbereich festlegen.
4.) differenzieren der Zielfunktion.
5.) Nullstellen der Ableitung suchen.
6.) Untersuchung, ob die gefundene Nullstelle ein Minimum oder Maximum ist. Dies
erkennt man in der 2. Ableitung.
7.) Berechnung der √ľbrigen Bedingungen.
8.) Extremwert der gesuchten Größe berechnen.
Kurven in Parameterdarstellung:

Definition:



Bemerkung:




à Funktion = Spezialfall einer ebenen Kurve.
Durch Eliminieren des Parameters gelingt es oft, eine Parameterfreie Form zu erhalten.

2 Prinzipielle Vorgangsweisen beim Eliminieren:

    Kreisgleichung:



    Parabel




polare Parameterdarstellung:


Neben der kartesischen Parameterdarstellung (=Angabe von x und y Koordinaten) gibt es auch die Möglichkeit einen Punkt durch Angabe von Betrag (=Abstand zum Ursprung) und Winkel, gemessen von der positiven x - Achse gegen den Uhrzeigersinn, festzulegen.




Unterscheidungsmerkmal: Bei der polaren Parameterdarstellung werden die Werte Betrag und Winkel durch ";" getrennt!

Umrechnung von kartesisches System in polare Parameterdarstellung:




Umrechnung von polarer Parameterdarstellung in kartesisches System:










Differation von Kurven in Parameterdarstellung




Kr√ľmmung, Kr√ľmmungskreis


Definition:
    Ein Kreis, der in einem Punkt (x0,f(x0)) einer Funktion f(x) in der 1. und 2.
Ableitung mit der Funktion √ľbereinstimmt hei√üt Kr√ľmmungskreis, Schmiegekreis.

    Die Kurve auf der die Mittelpunkte aller Kr√ľmmungskreise an einer Funktion liegen, nennt man EVOLUTE dieser Funktion.

    Die Urspr√ľngliche Funktion nennt man dann EVOLVENTE dieser Evolute.



Berechnung des Kr√ľmmungskreises an eine Funktion y=f(x) im Punkt P(x0/f(x0)).




















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