Berechnung von Polynomen

Berechnung von Polynomen


Aufgabe:

f sei eine Polynomfunktion 3. Grades. G_f verläuft durch P(1/4). W(3/6) ist Wendepunkt des Graphen. Die Tangente am Kurvenpunkt mit der Abszisse 4 verläuft waagerecht. Bestimme den Funktionsterm.

Diskussion:

Allgemeine Funktionsgleichungen

f(x) = ax³+ bx²+ cx + d allgemeiner Funktionsterm
f’(x) = 3ax²+ 2bx + c 1. Ableitung
f’’(x) = 6ax + 2b 2. Ableitung

Umsetzen der Bedingungen - Aufstellung des Gleichungssystems

f(1) = 1a + 1b + 1c + d = a + b + c + d = 4
f(3) = 27a + 9b + 3c + d = 6
f’(4) = 48a + 8b + c = 0
f’’(3) = 18a + 2b = 0 a = 1 b = - 9 c = 24 d = - 12

a + b + c + d = 4 27a + 9b + 3c + d = 6 48a + 8b + c = 0 18a + 2b = 0

II - I: 26a + 8b + 2c = 2 /:2

13a + 4b + c = 1

III - V: 35a + 4b = - 1

35a + 4b = - 1

Lösen des Gleichungssystems

Auflösen von IV nach b: b = - 9a
Einsetzen von b in VI: 35a + 4( - 9a) = - 1

35a - 36a = - 1 a = 1 b = - 9, da b = - 9a

Einsetzen von a, b in V: 13 - 36 + c = 1

c = 24

Einsetzen von a, b, c in I: 1 - 9 + 24 + d = 4
ó d = - 12

Funktionsterm: f(x) = x³- 9x²+ 24x - 12

4. Überprüfung der Bedingungen hier nicht notwendig

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