Mathematik Zusammenfassung

1 Funktionen

1.1 Funktionsbegriff

1.1.1 Definition

Es seien X,Y nichtleere Mengen. Eine Vorschrift f mit der Eigenschaft


heiße Abbildung (oder Funktion oder Zuordnung) von X in Y.
Das Element y = f(x) heiße Bild von x unter f, und x heiße ein Urbild von f(x).
Die Menge X heißt Definitionsbereich der Funktion f, häufig mit D(f) bezeichnet. Die Menge Y heißt Zielmenge von f. Die Menge f(X) heiße Bildbereich oder Wertebereich von f, kurz Bild f.

1.1.2 Grundfunktionen

(a) Die ganzrationale Funktion:


Für a_n ≠ 0 ist f(x) = P_n(x) ein Polynom vom Grade n.


Sonderfälle:

konstante Funktion
f(x) := b. lineare Funktion
f(x) := ax. affine Funktion
f(x) := ax + b.

(b) Die gebrochen rationale Funktion


(c) Die n - te Wurzelfunktion



(d) Der Absolutbetrag



(e) Die Signumsfunktion



(f) Die Entire - Funktion

1.1.3 Maximaler Definitionsbereich

Der maximale Definitionsbereich D_max(f) ⊂ R einer Funktion f ist diejenige Menge, die zu jedem ihrer Elemente x ⊂ D_max(f) einen formelmäßigen Ausdruck für f(x) zulässt, während f(x) für x ⊆ D_max(f) nicht definierbar ist.

1.1.4 Vektor - und matrixwertige Funktionen

(a) Vektorwertige Funktionen:
Es seien

Funktionen mit gemeinsamen Definitionsbereich
Dann ist eine vektorwertige Funktion
durch folgende Vorschrift erklärt:



(b) Matrixwertige Funktionen:
Es seien

Funktionen mit gemeinsamen Definitionsbereich
Dann ist eine matrixwertige Funktion
durch folgende Vorschrift erklärt:

1.1.5 Grundoperationen auf Funktionen

Nullstellen:
Eine Zahl x₀ ⊂ D(f) heißt Nullstelle von f, wenn gilt: f(x₀) = 0.
Summe:
(f + g)(x) := f(x) + g(x).
Skalares Vielfaches:
(λf)(x) := λf(x).
Produkt:
(fg)(x) := f(x)g(x).
Quotient:

Betrag:
|f|(x) := |f(x)|.

Nur in R: Positiver Teil:

Negativer Teil:

Maximum:
(max{f,g})(x) := max{f(x),g(x)}.
Minimum:
(min{f,g})(x) := min{f(x),g(x)}.

Es gelten folgende Zusammenhänge:

1.2 Grenzwerte

Anmerkung: Im Folgenden gilt nicht notwendigerweise, dass x₀ ⊂ D(f).

1.2.1 Eigentliche Grenzwerte

Linksseitiger Grenzwert:

Rechtsseitiger Grenzwert:

Grenzwert:
Sprünge:
Existieren im Punkt x₀ ⊂ R voneinander verschiedene rechts - und linksseitige Grenzwerte

, so hat die Funktion f bei x₀ einen Sprung der Höhe |g⁺- g^- |.

Singularitäten:
Ein Punkt x₀ ⊂ R heißt Unbestimmtheitsstelle oder singuläre Stelle oder Singularität von f, wenn wenigstens einer der Grenzwerte g⁺oder g^- nicht existiert. Singularitäten treten bei rationalen Funktionen

in den Nullstellen des Nennerpolynoms Q(x) auf, sofern diese nicht gleichzeitig Nullstellen des Zählerpolynoms P(x) mindestens derselben Ordnung sind.

Algebraische Operationen:
Seie

n
Dann gelten die folgenden Regeln:
(I)

(II)

(III)

(IV)

Ordnungsrelationen:
(I)

(II)

(III) Einschließungskriterium:

1.2.2 Uneigentliche Grenzwerte

Definition:
(a) Die Funktion f hat in +∞ (bzw. in - ∞) den Grenzwert g, wenn gilt:


Schreibweise:

Die Funktion f hat in x₀ ⊂ R den uneigentlichen Grenzwert +∞ (bzw. - ∞), wenn gilt:

Schreibweise:


Rechenregeln:
Seien lim f(x) = +∞ = lim h(x), lim g(x) = g

	Limes - Regel	Formale Regel
(1)		∞ + r = ∞, r ⊂ R
(2)		∞ * r = ∞, r> 0
(3)		∞ + ∞ = ∞
(4)
(5)

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