Mathematik Zusammenfassung

1 Funktionen



1.1 Funktionsbegriff


1.1.1 Definition

Es seien X,Y nichtleere Mengen. Eine Vorschrift f mit der Eigenschaft


heiße Abbildung (oder Funktion oder Zuordnung) von X in Y.
Das Element y = f(x) heiße Bild von x unter f, und x heiße ein Urbild von f(x).
Die Menge X heißt Definitionsbereich der Funktion f, häufig mit D(f) bezeichnet. Die Menge Y heißt Zielmenge von f. Die Menge f(X) heiße Bildbereich oder Wertebereich von f, kurz Bild f.

1.1.2 Grundfunktionen


(a) Die ganzrationale Funktion:


F√ľr an ≠ 0 ist f(x) = Pn(x) ein Polynom vom Grade n.


Sonderfälle:
    konstante Funktion
    f(x) := b. lineare Funktion
    f(x) := ax. affine Funktion
    f(x) := ax + b.

(b) Die gebrochen rationale Funktion


(c) Die n - te Wurzelfunktion



(d) Der Absolutbetrag



(e) Die Signumsfunktion



(f) Die Entire - Funktion



1.1.3 Maximaler Definitionsbereich


Der maximale Definitionsbereich Dmax(f) ⊂ R einer Funktion f ist diejenige Menge, die zu jedem ihrer Elemente x ⊂ Dmax(f) einen formelm√§√üigen Ausdruck f√ľr f(x) zul√§sst, w√§hrend f(x) f√ľr x ⊆ Dmax(f) nicht definierbar ist.

1.1.4 Vektor - und matrixwertige Funktionen


(a) Vektorwertige Funktionen:
Es seien

Funktionen mit gemeinsamen Definitionsbereich
Dann ist eine vektorwertige Funktion
durch folgende Vorschrift erklärt:



(b) Matrixwertige Funktionen:
Es seien

Funktionen mit gemeinsamen Definitionsbereich
Dann ist eine matrixwertige Funktion
durch folgende Vorschrift erklärt:



1.1.5 Grundoperationen auf Funktionen


    Nullstellen:
    Eine Zahl x0 ⊂ D(f) hei√üt Nullstelle von f, wenn gilt: f(x0) = 0.
    Summe:
    (f + g)(x) := f(x) + g(x).
    Skalares Vielfaches:
    (λf)(x) := λf(x).
    Produkt:
    (fg)(x) := f(x)g(x).
    Quotient:



    Betrag:
    |f|(x) := |f(x)|.

    Nur in R: Positiver Teil:



    Negativer Teil:



    Maximum:
    (max{f,g})(x) := max{f(x),g(x)}.
    Minimum:
    (min{f,g})(x) := min{f(x),g(x)}.

Es gelten folgende Zusammenhänge:








1.2 Grenzwerte



Anmerkung: Im Folgenden gilt nicht notwendigerweise, dass x0 ⊂ D(f).

1.2.1 Eigentliche Grenzwerte


    Linksseitiger Grenzwert:



    Rechtsseitiger Grenzwert:





    Grenzwert:
    Spr√ľnge:
    Existieren im Punkt x0 ⊂ R voneinander verschiedene rechts - und linksseitige Grenzwerte

, so hat die Funktion f bei x0 einen Sprung der Höhe |g+- g- |.

    Singularitäten:
    Ein Punkt x0 ⊂ R hei√üt Unbestimmtheitsstelle oder singul√§re Stelle oder Singularit√§t von f, wenn wenigstens einer der Grenzwerte g+oder g- nicht existiert. Singularit√§ten treten bei rationalen Funktionen

in den Nullstellen des Nennerpolynoms Q(x) auf, sofern diese nicht gleichzeitig Nullstellen des Zählerpolynoms P(x) mindestens derselben Ordnung sind.

    Algebraische Operationen:
    Seie
n
Dann gelten die folgenden Regeln:
(I)

(II)

(III)

(IV)


    Ordnungsrelationen:
    (I)


(II)

(III) Einschließungskriterium:




1.2.2 Uneigentliche Grenzwerte


Definition:
(a) Die Funktion f hat in +∞ (bzw. in - ∞) den Grenzwert g, wenn gilt:


Schreibweise:



    Die Funktion f hat in x0 ⊂ R den uneigentlichen Grenzwert +∞ (bzw. - ∞), wenn gilt:


Schreibweise:


Rechenregeln:
Seien lim f(x) = +∞ = lim h(x), lim g(x) = g


Limes - Regel
Formale Regel
(1)


∞ + r = ∞, r ⊂ R
(2)


∞ * r = ∞, r> 0
(3)


∞ + ∞ = ∞
(4)




(5)





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