Der Doppler-Effekt

Doppler - Effekt (Christian Doppler 1842)

I. Der akustische Doppler - Effekt

Beispiele/Beobachtungen:

w Eine Stimmgabel wird angeschlagen und vom Empfänger hin und weg bewegt
é Unterschiede in der hörbaren Frequenz
w Ein nahender Zug, ein entfernender Zug
é Unterschiede in der hörbaren Frequenz
w Ein Schwimmer, der gegen und mit den Wellen schwimmt
é höhere/niedrigere Frequenz, der Wellen beim Empfänger

Erkenntnis:

Die Frequenz und die Wellenlänge einer Welle ändern sich, wenn der Beobachter und der Wellenerreger sich relativ zueinander bewegen. (Doppler - Prinzip)

Man unterscheidet hierbei drei Fälle:

Der Wellenerreger W und der Beobachter B sind relativ zum Medium der Wellenausbreitung (z.B. Wasser, Luft, etc.) in Ruhe

c - Eigengeschwindigkeit der Welle
" = T_1*c mit T₁ = 1/f₁ " = c/f₁ f₁ = c/"

ê es ergeben sich keine Unterschiede zu dem Bekannten, da das Medium relativ zu W und B in Ruhe ist auch wenn es sich bewegt

Der Wellenerreger ist relativ zum Medium der Wellenausbreitung in Ruhe und der Beobachter bewegt sich relativ zu diesem Medium mit konstanter Geschwindigkeit v a) auf W zu oder b) von W weg

T₂ sei die Zeit, die eine Welle braucht um B zu passieren

Relativgeschwindigkeit zwischen B und Wellenzug beträgt c + v

" = T_2*(c+v) mit T₂ = 1/f₂ " =(c+v)/f₂
mit " = c/f₁ c/f₁ = (c+v)/f₂ f₂ = f_1*(c+v)/c
f₂ = f_1*(1+v/c)

T₃ sei die Zeit, die eine Welle braucht um B zu passieren

Relativgeschwindigkeit zwischen B und Wellenzug beträgt c - v

" = T_3*(c+v) mit T₃ = 1/f₃ " =(c+v)/f₃
mit " = c/f₁ c/f₁ = (c+v)/f₃ f₃ = f_1*(c - v)/c
f₃ = f_1*(1 - v/c)

ê es ergeben sich neue Frequenzen, die sich von der ursprünglichen Frequenz nur um einen Faktor unterscheidet, der von den Geschwindigkeiten der Welle und des Beobachters abhängig ist

Der Beobachter ist relativ zum Medium der Wellenausbreitung in Ruhe und der Wellenerreger bewegt sich relativ zu diesem Medium mit konstanter Geschwindigkeit v a) auf B zu oder b) von B weg

n" - Strecke, die der Anfang des Wellenzuges vom Ausgangspunkt zurückgelegt hat,

wenn die letzte Welle den Wellenerreger verlassen hat
nTv - Strecke, die der Wellenerreger vom Ausgangspunkt in nT zurückgelegt hat
T₄ - Zeit die der Wellenzug benötigt um B zu passieren
nT₄c - Länge des Wellenzuges, die bei B gemessen wird

n" - nTv = nT₄c mit T₁ = 1/f₁ und T₄ = 1/f₄ c/f₄ = " - v/f₁
mit " = c/f₁ c/f₄ = c/f₁ - v/f₁
f₄ = f₁/(1 - v/c)

Betrachtung der Wellenlänge:

mit "₁ = c/f f = f₄ "₁ = " _* (1 - v/c)

n" - Strecke, die der Anfang des Wellenzuges vom Ausgangspunkt zurückgelegt hat,

wenn die letzte Welle den Wellenerreger verlassen hat
nTv - Strecke, die der Wellenerreger vom Ausgangspunkt in nT zurückgelegt hat
T₅ - Zeit die der Wellenzug benötigt um B zu passieren
nT₅c - Länge des Wellenzuges, die bei B gemessen wird

n" + nTv = nT₅c mit T₁ = 1/f₁ und T₅ = 1/f₅ c/f₅ = " + v/f₁
mit " = c/f₁ c/f₅ = c/f₁ + v/f₁
f₅ = f₁/(1+v/c)

Betrachtung der Wellenlänge:

mit "₂ = c/f f = f₅ "₂ = " _* (1+v/c)


Eine Betrachtung der Wellenlängenänderung ist hier nur sinnvoll, wenn sich der Wellenerreger relativ zum Medium der Wellenausbreitung bewegt, da hierbei physikalisch sichtbare Änderungen stattfinden, die durch eine Verengung des Wellenzuges wahrzunehmen sind. Bewegt sich der Beobachter relativ zu einem Wellenerreger, der relativ zum Medium der Wellenausbreitung in Ruhe ist, so ändert sich physikalisch nicht die Länge des Wellenzuges, auch nicht relativ für den Beobachter, der nur Frequenzänderungen wahrnimmt.


Besonderheit:

Bewegt sich eine Schallquelle schneller als die von ihr ausgesandte Welle so bündeln sich die Wellenfronten und erzeugen eine Schallmauer, die wir als lauten Knall wahrnehmen. Wenn das Flugzeug die Schallgeschwindigkeit überschreitet, durchbricht es die Schallmauer und erzeugt eine verstärkte Druckwelle, einen Überschallknall.


II. Der optische Doppler - Effekt (Lichtwellen oder elektromagnetische Wellen)

Beispiel/Beobachtung:

w Sterne, die sie sich von der Erde weg bewegen
é Linien im Spektrum der Sterne erscheinen zum Rot hin verschoben (Rotverschiebung)


Erkenntnis:

Der Doppler - Effekt muss auch für Lichtwellen gelten.


Unterschied zum akustischen Doppler - Effekt:

Zuvor musste man Unterscheiden ob sich der Wellenerreger oder der Beobachter relativ zum Medium bewegt. Hier muss man diese Unterscheidung nicht mehr treffen, da zur Wellenausbreitung von Lichtwellen oder elektromagnetischen Wellen kein Medium wie Wasser oder Luft nötig ist (Dinge sind im Vakuum sichtbar).

ê so muss es egal sein ob sich der Sender bewegt oder der Empfänger

Beide Formeln müssen somit ineinander übergehen:

Beobachter entfernt sich: Wellenerreger entfernt sich:
f₃ = f_1*(1 - v/c) f₅ = f₁/(1+v/c)


Da es sich hierbei um große Geschwindigkeiten handelt muss man die nach der Relativitätstheorie auftretende Zeitdilatation berücksichtigen. So muss man die Formel mit je einem Faktor korrigieren:

Da die Zeit beim bewegten Beobachter langsamer vergeht, ändert sich die Sendefrequenz f₁ und ist um den Faktor 1/(1 - v²/c²)^1/2erhöht.

So ergibt sich:
f₃ = f_1*(1 - v/c)/(1 - v²/c²)^1/2
Da die Zeit beim bewegten Sender langsamer vergeht, ändert sich die Sendefrequenz f₁ und ist um den Faktor (1 - v²/c²)^1/2erniedrigt.


So ergibt sich:
f₅ = (f₁/(1+v/c))*(1 - v²/c²)^1/2

Nach Umformungen erweisen sich beide Formeln als identisch:

f₆ = f1*((1 - v/c)/(1+v/c))^1/2

Betrachtung der Wellenlänge:

mit "₃= c/f f = f₆ "₃= "*((1 - v/c)/(1+v/c))^1/2



Anwendungsmöglichkeit des Doppler - Effekts:

Man kann z.B. bei Sternen, die sich von der Erde weg bewegen, schon alleine über die Linien im Spektrum der Sterne bestimmen mit welcher Geschwindigkeit sich diese Sterne von der Erde weg bewegen.
Hierbei macht man sich die Formel von der neuen Wellenlänge "₃ zu nutze.
Weiterhin kann man Rotationen von Galaxien ermitteln und Strömungen interstellarer Materie verfolgen.


Die Machzahl (Ernst Mach 1838 - 1916)

Ernst Mach stellte eine einfache Formel auf, die das Verhältnis von Wellenerregergeschwindigkeit zur Schallgeschwindigkeit ausdrückt. Die Einheit des Verhältnisses wurde nach Mach benannt.

Einheit: 1M = 1 Mach
Formel: M = v/c

Da bei v = c, siehe Abb. 02, das Verhältnis 1 Mach vorliegt, entspricht ein Mach der Schall - geschwindigkeit c. Bei v> c entsteht ein Machscher Kegel, siehe Abb. 03, der einen Öffnungswinkel a hat, den man durch die Beziehung sin a/2 = 1/M erhält.



Literaturangabe:

w Metzler Physik 2.Auflage
w Encarta Enzyclopedia 99
w Bergmann - Schäfer: Teilchen
w

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