Polynomfunktionen als Funktionsersatz

Polynomfunktionen als Funktionsersatz

Polynomfunktionen als e - Funktionsersatz

Wir wissen von der Herleitung von e, dass gilt:

<< 1
⇒ eh≈ 1 + h

Damit ist die erste N├Ąherung f├╝r ex: ex≈ 1 + x f├╝r
<< 1

Im Bild (S.88) k├Ânnen wir sehen, dass y = 1 + x Tangente an f(x) = exf├╝r x = 0 ist, und au├čerdem f(x) = eximmer, au├čer f├╝r x = 0, ├╝ber der Tangente liegt.
⇒ ex> 1 + x
Eine bessere N├Ąherung erh├Ąlt man, indem man die Gerade durch eine Parabel ersetzt. Dadurch wird die Kr├╝mmung mit ber├╝cksichtigt.
Um diese zu finden schauen wir uns noch einmal die Tangente an. Sie stimmt nicht nur im Funktionswert, sondern auch in der 1. Ableitung mit dem Graphen der Funktion ├╝berein.
F├╝r die Parabel fordern wir nun, dass diese auch in der 2. Ableitung mit dem Wert der 2. Ableitung von f(x) = exf├╝r x = 0 ├╝bereinstimmt, so dass sie dort auch die gleiche Kr├╝mmung besitzt.

Ansatz:

;
; exp(0) = 1 ⇒


;
; exp(0) = 1 ⇒


;
; exp′′(0) = 1 ⇒





Nach dieser Betrachtung k├Ânnen wir vermuten, dass die Ann├Ąherung um so besser wird, je h├Âher die Potenz der Polynomfunktion ist. Wir nehmen deshalb gleich ein Polynom n - ten Grades und verlangen, dass m├Âglichst viele Ableitungen (n St├╝ck) mit dem Funktionswert von f(x) = exf├╝r x = 0 ├╝bereinstimmen.

Der Term des Polynoms n - ten Grades lautet dann:


Wir bilden die Ableitungen:



k . (k - 1) .(k - 2) .... .2.1 wird abgek├╝rzt mit dem Symbol k! und bedeutet das Produkt aller nat├╝rlicher Zahlen von 1 bis k. Um dies noch zu vervollst├Ąndigen, wurde noch 1! = 1 und
0! = 1 definiert.


Den Grund kann man an folgender Formel sehen:
n! = (n - 1)! .n
F├╝r n = 2 gilt:
2! = 1 .2 = 2 und 2! = (2 - 1)! .2 = 1! .2 ⇒1! = !
F├╝r n = 1 gilt:
1! = (1 - 1)! .1 = 0! .1 und 1! = 1 ⇒ 0! = 1


F├╝r die k - te Ableitung unserer Polynomfunktion an der Stelle x = 0 gilt also:


Da alle Ableitungen von f(x) = exf├╝r x = 0 den Wert 1 haben muss also

sein, und somit


Die gesuchte Polynomfunktion n - ten Grades heisst also:


kurz:





Polynomfunktion als sin - Funktionsersatz:

Ansatz (f├╝r n = 5):













f(x) = sinx
f(x) = cosx
f′′(x) = - sinx
f′′′(x) = - cosx
f(4)(x) = sinx
f(5)(x) = cosx


; f(0) = 0 ⇒


; f(0) = 1 ⇒


; f′′(0) = 0 ⇒


; f′′′(0) = - 1 ⇒


; f(4)(0) = 0 ⇒


; f(5)(0) = 1 ⇒




Allgemein:

(siehe oben)
    da sinx bei allen geradzahligen Ableitungen an der Stelle x = 0 den Wert 0 hat folgt:
k! .
f├╝r k = 2z ; z
IN0


- bei allen Ableitungen von sinx mit k = 1 + 4z mit z
IN0 ist der Wert 1


f├╝r k = 1 + 4z ; z
IN0

- bei allen Ableitungen von sinx mit k = 3 + 4z mit z
IN0 ist der Wert - 1


f├╝r k = 3 + 4z ; z
IN0


⇒ Die gesuchte Polynomfunktion n - ten Grades heisst damit:



oder
mit n = 2k+1


Kurz:


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