Exponentialfunktionen

Exponentialfunktionen

Definition: Zuordnungen der Form

x q ^x (q⊂ |R⁺ \{1})

heißen Exponentialfunktionen.

Eigenschaften von Exponentialfunktionen: 1. für jede Exponentialfunktion gilt:

a: der Graph der Funktion

steigt für q> 1, die Funktion ist streng monoton steigend sie fällt für 0 b: der Graph liegt oberhalb der x -


Achse, daraus folgt: die Menge

aller Funktionswerte ist R⁺
c: der Graph approximiert
- den negativen Teil der x -
Achse für q> 1

den positiven Teil der x - Achse
für 0



Praktische Anwendung der Exponentialfunktionen: - Kapitalanlagen

Pflanzenwuchs Gleichmäßiges Wachstum Zerfall von Stoffen

Beachte: Im Unterschied zu den Potenzfunktionen ist bei Exponentialfunktionen die
Hochzahl variabel.

Beispiel:

Die Funktion x 2^x; x ⊂ |R heißt Exponentialfunktion zur Basis 2.
Für diese Funktion gilt:


Der Graph steigt; die Funktion ist streng monoton wachsend. Der Graph liegt oberhalb der 1. Achse. Die Funktion nimmt jede positive reelle Zahl als Funktionswert an.
Für x <0 ist 0 <2^x<1,
für x = 0 ist 2^x= 1,
für x> 0 ist 2^x> 1.

Der Graph schmiegt sich an den negativen Teil der 1. Achse an. Die 1. Achse ist
Asymptote des Graphen.

Jedesmal, wenn x um s wächst, wird der Funktionswert 2^xmit 2^smultipliziert.



^y










- 6 - 5 - 4 - 3 - 2 - 1 1 2 3 4 5 ^x

Stelle Funktionswert

x 2^x
+ s _* 2^s
x+s 2^{x + s}= 2^x_* 2^s



bei unterschiedlicher Wahl der Basis wird der Graph der Funktion gestreckt oder gestaucht. Siehe oben !!!




LinearesWachstum einer Größe y:

Zu gleichen Zeitspannen gehört immer eine Zunahme der Größe y um den gleichen Betrag.
Funktionsgleichung der Funktion Zeit x Größe y: y = mx + b

Exponentielles Wachstum einer Größe y:

Zu gleichen Zeitspannen gehört immer eine Vervielfachung der Größe y mit dem gleichen Faktor b (Wachstumsfaktor).
Funktionsgleichung der Funktion Zeit x Größe y: y = a _* b^x



Logarithmusfunktionen:




Gegeben seien zwei positive Zahlen y und q (wobei q = 1). Wir suchen diejenige

(Hoch - )Zahl x, mit der man q potenzieren muss, um y zu erhalten: y = bx.


Diese Zahl x heißt der Logarithmus von y zur Basis q; Bezeichnung: x = log_b y.


Logarithmengesetze:

(L1): log_b (u * v) = log_b u + log_b v (für u, v ⊂ |R⁺)
Der Logarithmus eines Produkts ist gleich der Summe der Logarithmen der Faktoren.

(L2): log_b (u^t) = t * log_b u (für u, t ⊂ |R⁺)


Der Logarithmus einer Potenz ist gleich dem Produkt aus der Hochzahl und dem

Logarithmus der Basiszahl.
(L1*): log_b (^u/_v) = log _b u - log_b v (für u, v ⊂ |R⁺)
Der Logarithmus eines Bruches (Quotienten) ist gleich der Differenz des Logarithmus
des Zählers und des Logarithmus des Nenners.


Eigenschaften von Logarithmusfunktionen:

Für jede Logarithmusfunktion x wird zugeordnet log_b x; x⊂|R⁺mit b> 1 gilt:


Der Graph steig; die Funktion ist streng monoton steigend Die menge aller Funktionswerte ist |R. Es gilt

log_b x <0 für 0 log_b x = 0 für x = 1
log_b x> 0 für x> 1



Der Graph approximiert den negativen Teil der Y - Achse. Die Graphen aller Logarithmusfunktionen haben den Punkt P (1;0) und nur diesen
Gemeinsam.


Graph der o.g. Logarithmusfunktion:













Die Lorarithmusfunktion ist eine Umkehrung der Exponentialfunktion. Gegeben seien zwei positive Zahlen y und b (b ungleich 1). Es wird die (Hoch - ) Zahlx gesucht, mit der man b potenzieren muss um y zu erhalten.



Ãœbungsaufgabe:

Eine Größe y wachse exponentiell. In der Zeiteinheit x = 1 wachse sie an mit dem Faktor

Zum Zeitpunkt x = 0 habe sie den Wert a.


Fülle die Tabelle aus. Zeige: Zum Zeitpunkt x hat die Größe y den Wert y = a _* b^x


Zeit Größe y

0 a

1 [ ]

2 [ ]

3 [ ]

.

.

.
x [ ]











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