Das Ikosaeder



DAS IKOSAEDER

Berechnung:




Zur Bestimmung des Radius R der umschreibenden Kugel des Ikosaeders und des Radius r der in das Ikosaeder einbeschriebenen Kugel legt man eine Schnittebene durch zwei solche Kanten des Ikosaeders, die einander parallel gegen√ľberliegen. Die zu diesen Kanten geh√∂renden Ecken des Ikosaeders seien E1 und E2 bzw. E3 und E4. Offensichtlich liegt auch das Zentrum Z des Ikosaeders in dieser Schnittebene. Weiterhin schneidet die Ebene die Oberfl√§che des Ikosaeders au√üer in den zwei Kanten noch in genau vier Seitenmitten von vier Dreiecksfl√§chen des Ikosaeders. Diese Seitenmitten sind gleichzeitig H√∂hen in den betreffenden gleichseitigen Dreiecken und haben daher die L√§nge h = a/2*sqrt(3). Die Schnittebene schneidet aus der Oberfl√§che des Ikosaeders also ein Sechseck aus, dessen Ecken neben vier Ikosaederecken noch zwei Mittelpunkte M1 und M2 von Ikosaederkanten sind. Diese sechs Punkte seien in naheliegender Weise in der folgenden Reihenfolge bezeichnet: M1, E1, E2, M2, E3, E4.

Schlie√ülich seien noch M3 der Mittelpunkt der Kante E1E2, und M4 der Mittelpunkt der Kante E3E4 sowie N der Punkt auf der H√∂he M1E1, der diese im Verh√§ltnis M1N : NE1 = 1 : 2 teilt. Er ist der Schwerpunkt des zugeh√∂rigen Dreiecks des Ikosaederdreiecks und damit Ber√ľhrpunkt der einbeschriebenen Kugel.

In diesem Sechseck sind nun die Verbindungslinien der vier Kantenmittelpunkte M1, M2, M3 und M4 jeweils mit Z aus Symmetriegr√ľnden gleich lang, also speziell etwa M1Z = M3Z = x. Weiterhin gilt ZE1 = R, ZN = r und M3E1 = a/2. Schlie√ülich hat man E1M1 = a/2*sqrt(3), E1N = a/3*sqrt(3) und NM1 = a/6*sqrt(3) nach bekannten Formeln f√ľr das gleichseitige Dreieck der Kantenl√§nge a.

In geeigneten rechtwinkligen Dreiecken ergeben sich nun durch Anwendung des Satzes des Pythagoras:

R2 = r2 + a2/3,

R2 = x2 + a2/4,

x2 + (x - a/2)2 = 3/4*a2,

wobei die letzte Formel aus demjenigen Dreieck abzulesen ist, das durch Ziehen der Parallele zu M3Z durch E1 entsteht. Aus dieser Formel ermittelt man

x = a/4*(1 + sqrt(5))

und somit

x2 = a2/8*(3 + sqrt(5)).

Durch Einsetzen in die zweite Formel erhält man

R = a/4*sqrt(10 + 2*sqrt(5))

und damit schließlich aus der ersten Formel

r = a/12*sqrt(3)*(3 + sqrt(5)).

Zur Bestimmung des Volumens V des Ikosaeders denkt man sich das Ikosaeder vom Zentrum Z aus in 20 gleiche Pyramiden zerlegt, deren Grundfläche gleich der Fläche des gleichseitigen Dreiecks der Seitenlänge a ist, also G = a2/4*sqrt(3) und deren Höhe der Radius r der einbeschriebenen Kugel ist. Also gilt

V = 20*(1/3)*r*G = 5/12*(3 + sqrt(5))*a3.

Die Oberfläche des Ikosaeders besteht aus 20 gleichseitigen Dreiecken der Seitenlänge a, also

O = 20*G = 5*sqrt(3)*a2.

Vorkommen:


PLATON verwendete die Vorstellung von Empedokles. Er versuchte den Aufbau der Materie mathematisch zu beschreiben. Seine Grundelemente waren die regul√§ren K√∂rper Tetraeder f√ľr Feuer, Oktaeder f√ľr Luft, Ikosaeder f√ľr Wasser und Hexaeder (W√ľrfel) f√ľr Erde. Der Dodekaeder als f√ľnfter regul√§rer K√∂rper war dem kugelf√∂rmigen Weltganzen zugeordnet. Diese K√∂rper sind so klein, dass sie nicht mit den Sinnen wahrgenommen werden k√∂nnen.

Man erhält einen Fußball, indem man einen Ikosaeder nimmt und an jeder Ecke eine Pyramide abschneidet.
Die Platonischen K√∂rper symbolisieren zugleich die f√ľnf Elemente, aus denen sich das Universum zusammensetzt.

F√ľr die allgemeine Gleichung 2., 3. und 4. Grades gibt es Formeln, die es gestatten, die L√∂sungen aus den Koeffizienten der Gleichung durch Wurzelziehen zu gewinnen, f√ľr die allgemeine Gleichung 5. Grades kann es dagegen keine solche Formel geben. Der Grund daf√ľr ist, dass die Symmetriegruppe dieses Problems, die Gruppe aller (geraden) Permutationen von 5 Gegenst√§nden (hier: der 5 L√∂sungen der Gleichung) nicht aufl√∂sbar ist. Dieselbe Gruppe tritt aber auch als Symmetriegruppe des Ikosaeders auf, des platonischen K√∂rpers, der durch 20 gleichseitige Dreiecke begrenzt wird, so dass an jeder Ecke 5 Dreiecke zusammensto√üen. Felix Klein hat um 1870 ausgef√ľhrt, dass die L√∂sung der Gleichung 5. Grades eine enge Verbindung zum Ikosaeder hat: Dem Ikosaeder ist eine rationale Funktion zugeordnet ("Ikosaeder - √úberlagerung"), mit deren Umkehrungen man die Gleichung l√∂sen kann. Damit wurden zwei Grundaufgaben der Mathematik miteinander verbunden: Das L√∂sen von Gleichungen und die Untersuchung r√§umlicher Formen, Algebra und Geometrie.


C60 - härter als ein Diamant:


HENTRIACONTACYCLO(29.29.0.0^2.14.0^3.12.0^4.59.0^5.10.0^6.58.0^7.55.0^8.53.0^9.21.0^11.2.0^13.18.0^15.30.0^16.28.0^17.25.0^19.24.0^22.52.0^23.50.0^26.49.0^27.47.0^29.45.0^32.44.0^33.60.0^34.57.0^35.43.0^36.56.0^37.41.0^38.54.0^39.51.0^40.48.0^42.46)hexaconta - 1,3,5(10),6,8,11,13(18),14,16,19,21,23,25,27,29(45),30,32(44),33,35(43),36,38(54),39(51),40(48),41,46,49,52,55,57,59 - triaconten

Buckminsterfulleren, C60, ist ein Cluster aus 60 Kohlenstoffatomen (und damit ein weiteres "Allotrop" neben Graphit und Diamant), welche in Form eines hohlen K√§figs angeordnet sind (allgekappter Ikosaeder, 12 F√ľnfecke und 20 Sechsecke), mit anderen Worten: wie ein Fu√üball.

Viren in der Biologie:




Die zwar voll entwickelten und infekti√∂sen, aber extrazellul√§ren und daher vor√ľbergehend in einer Ruhephase befindlichen Viren - Partikeln nennt man Virionen. Chemisch sind sie Nucleoproteine (d.h. Komplexe aus Proteinen und Nucleins√§uren), die teilweise kristallisierbar sind. W√§hrend in zellul√§ren Organismen stets beide Typen von Nucleins√§uren, n√§mlich Ribonucleins√§uren (RNA) und Desoxyribonucleins√§uren (DNA) anzutreffen
sind, findet man in Viren nur entweder RNA oder DNA als genetisches Material. Die aus Protein - Untereinheiten (Capsomeren) bestehende Schutzh√ľlle (Capsid) ist in der Regel symmetrisch gebaut: Entweder sind die Einheiten wie die Stufen einer Wendeltreppe aneinandergereiht, so dass sich eine Helix - Struktur (vgl. Abb. 1) ergibt, oder sie sind zu einem geschlossenen Hohlk√∂rper vereinigt, der eine h√∂here Symmetrie besitzt, siehe die Beispiel der Ikosaeder in Abb. 2.
Clusterphysik:

Die Clusterphysik ist von besonderem Interesse, da sie ein Bindeglied zwischen der Atom - bzw. Molek√ľlphysik und der Festk√∂rperphysik darstellt.

Was ist unter dem Begriff Cluster zu verstehen?

Nach dem "Concise Oxford Dictionary" ist der Begriff Cluster gleichbedeutend mit "a group of similar things". Im Deutschen gibt es allerdings keine vern√ľnftige, allgemeing√ľltige Definition f√ľr diesen Begriff. Ganz allgemein kann man unter einem Cluster ein aus identischen Teilchen zusammengesetztes Ganzes verstehen. Die Bezeichnung Cluster wird daher nicht nur in der Festk√∂rperphysik verwendet, wo dieser aus identischen Atomen oder Molek√ľlen besteht, sondern auch z.B. in der Medizin (Tumorwachstum), Astronomie (Sterne, Galaxien), Musik (moderner Mehrklang), Informatik (Netzwerke) und neuerdings sogar in der Nahrungsmittelindustrie.

Eine Anh√§ufung von N gleichen Atomen bzw. Molek√ľlen wird noch solange als Cluster bezeichnet, wie sich ein gro√üer Teil der Atome an der Oberfl√§che des Clusters befindet. Eine bestimmte Obergrenze in Richtung Festk√∂rper (108 Atome) gibt es allerdings nicht. Diese Grenze muss je nach Art des Clusters und der zu untersuchenden physikalischen Eigenschaft einzeln gezogen werden. Die minimale Untergrenze f√ľr die Teilchenzahl eines Clusters ist durch N=3 gegeben.

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