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Differenzierbarkeit
Differenzierbarkeit
(#)
Kettenregel
Beweis
Ziel ist es, Differenzierbarkeit (s.o.) für f(g(x)) herzuleiten.Dann erhält man, dass
diffbar. ist, und man sieht die gesuchte Formel.
Da nach Voraussetzung f und g (auf entsprechenden Definitionsbereichen) diffbar. sind, lässt sich jeweils (#) anwenden.
Nach Einsetzen, Umformen und zusammenfassen erhält man das gewünschte dann.
Also
-
Da g in x0 diffbar., gilt wegen (#)
mit
⇒
mit
(1)
-
Da f diffbar gilt für die Stellen
mit
-
Da f diffb. in g(x0), setze y=g(x), b=g(x0)
(2)
mit
-
(1) in (2) einsetzen
Ausmultiplizieren liefert
Diese Funktion f(g(x)) ist diffbar., falls t(...)→0 für x→x0
(Beweis über Grenzwertsätze)
Nun muss man nur noch umformen
nach Def. der Ableitung
⇒
Ist g in x0 und f in g(x0) diffbar., so ist
in x0 diffbar., und es gilt:
[äußere Ableitung mal innere Ableitung]
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