Gegenseitige Induktion

Gegenseitige Induktion:
Zwei Leiteranordnungen, die sich gegenseitig ĂŒber ihre Magnetfelder beeinflussen nennt man magnetisch gekoppelt. Durch die Kopplung (coupling) kann ein Strom in der einen Anordnung, eine Spannung in der jeweils anderen induzieren. Diesen Vorgang nennt man gegenseitige Induktion (mutal induction), er ist ein Sonderfall der Fremdinduktion.


Wir betrachten zwei gekoppelte Spulen in Luft und tragen wie ĂŒblich Bezugspfeile fĂŒr Strom, Spannung und magn. Fluß in die Schaltung ein. Wir lassen die Klemmen der Spule 2 offen und nehmen einen sich zeitlich Ă€ndernden Strom i1 in Spule 1 an.
Dieser erzeugt insgesamt den Fluß φ11, dessen Teilfluß φ21 auch Spule 2 durchsetzt.
Die Doppelindizierung ist wie folgt zu verstehen:
    Index: Ort der Wirkung Index: Ort der Erzeugung

Da nicht sĂ€mtliche Windungen der Spulen N1 und N2 vom selben Fluß durchsetzt werden mĂŒssen wir fĂŒr die Spannungsinduktion mit den verketteten FlĂŒssen Ψm11 und Ψm21 rechnen.
In Spule 1 entsteht am ohmschen Widerstand ein Spannungsabfall uR1 sowie eine Selbstinduktionsspannung uL1:


In Spule 2 entsteht durch Fremdinduktion eine Spannung


Betrachten wir nun umgekehrt den Fall, dass ein Strom i2 in Spule 2 den Fluß φ22 erzeugt, der mit seinem Teilfluß φ12 auch Spule 1 durchsetzt. Dabei sind die Klemmen der Spule 1 offen. Es ergeben sich analog die Gleichungen:




Fließen in beiden Spulen Ströme, so ergibt sich ein gemeinsames magnetisches Feld mit dem beide Spulen verkettet sind.



mit




wobei zu beachten ist, dass der Zusammenhang B = f(H) linear sein muss um die verketteten FlĂŒsse einfach miteinander addieren zu können.


FĂŒr praktische Rechnungen ist der Rechenweg ĂŒber die verketteten FlĂŒsse zu umstĂ€ndlich. Man definiert daher analog zu den InduktivitĂ€ten

bzw.

die gegenseitige InduktivitĂ€t (coefficient of mutal inductance), die frĂŒher auch GegeninduktivitĂ€t genannt wurde:

bzw.


Die gegenseitige InduktivitĂ€t zweier Leiteranordnungen ist ein Maß fĂŒr die StĂ€rke des verketteten Flusses aufgrund eines Gleichstromes in der jeweils anderen Leiteranordnung.

Die gegenseitigen InduktivitĂ€ten L12 und L21 sind nur fĂŒr linear wirkende Feldmedien definiert und haben stets gleiche Werte.
L12 = L21
Im Gegensatz zur stets positiven SelbstinduktivitĂ€t kann die gegenseitige InduktivitĂ€t auch einen negativen Wert haben. Ihr Vorzeichen wird durch die Wahl des Bezugssinns fĂŒr den Fluß an jeder der beiden Spulen bestimmt.


WĂ€hlt man den Bezugssinn wie in Abbildung a) ,so ergibt sich eine positive StromstĂ€rke in der einen Spule, einen positiven verketteten Fluß in dieser und auch in der anderen. Wir nennen diesen Fall gleichsinnige Kopplung:



WĂ€hlt man dagegen den Bezugssinn wie in Abbildung b), so ergibt sich eine positive StromstĂ€rke in der einen Spule, in dieser einen positiven, in der anderen Spule jedoch einen negativen verketteten Fluß. Wir nennen diesen Fall gegensinnige Kopplung.
Ist in zwei Spulen der Strombezugspfeil zu den Wicklungspunkten gleich, so ergibt sich eine gleichsinnige Kopplung (L12>0), im anderen Fall eine gegensinnige Kopplung (L12<0)

Der Punkt im Schaltzeichen zweier gekoppelter Spulen gibt die Enden mit gleichen Augenblickswerten an.


Die verketteten FlĂŒsse zweier gekoppelter Spulen bzw. Leiteranordnungen können mit den InduktivitĂ€ten und den gegenseitigen InduktivitĂ€ten auf einfache Weise durch die Ströme ausgedrĂŒckt werden.


=L1·I1+L12·I2

=L2·I2+L21·I1
FĂŒr zeitabhĂ€ngige Ströme ergeben sich damit die Klemmspannungen:




Die Spannungen
und
bezeichnet man als gegeninduktive Spannungen.
Zu den obigen Gleichungen können wir eine Ersatzschaltung fĂŒr die beiden gekoppelten Spulen (allgemein: Leiteranordnung) angeben.


Dabei werden die durch die Gegeninduktion erzeugten Spannungen durch stromgesteuerte Spannungsquellen ersetzt. Stromgesteuert durch den Strom der jeweils anderen Spule.
Praxisbezug zur magnetischen Kopplung:


In Fernsprechleitungen bildet jede aus Hin - und RĂŒckleitung bestehende Übertragungsstrecke eine sogenannte Doppelader; aus jeweils zwei Doppeladern wird ein Vierer aufgebaut. Aus fĂŒnf Vierern wird ein GrundbĂŒndel und aus fĂŒnf GrundbĂŒndeln ein HauptbĂŒndel gebildet, das demnach aus 100 Adern besteht.


Durch das gemeinsame magnetische bzw. elektrische Feld zweier Doppeladern im Vierer ergibt sich eine induktive bzw. kapazitive Kopplung. Sie erzeugt Störungen im Fernsprechverkehr, die man als Nebensprechen bezeichnet. Es gibt zwei Möglichkeiten, dies zu vermeiden:
Beim Stern - Vierer bilden die Adern möglichst genau die Eckpunkte des Quadrats. Die gegenseitige InduktivitĂ€t der Doppeladern ist hierbei annĂ€hernd Null, weil der magnetische Fluß einer Doppelader die Leiterebene der jeweils anderen nicht durchsetzt.
Beim Dieselhorst - Martin - Vierer (DM - Vierer) werden zunÀchst die Adern mit unterschiedlichen SchlÀgen verdrillt, danach zusÀtzlich die Doppeladern. Hierdurch heben sich die Kopplungen im statistischen Mittel fast ganz auf.

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